Una desigualdad por Hardy

Question

Los jóvenes de la desigualdad de las circunvoluciones de los estados que si $1 \leq p, q, r \leq \infty$ satisfacer

$$\frac{1}{q} + 1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{r}$$ para todos los $f \in L^p(G)$ y todos los $g \in L^r(G)$ donde $g$ $g'$ tienen el mismo $L^r$-norma y $g'(x) = g(x^{-1})$ ($G$ es un grupo topológico) tenemos que:

$$\|f * g\|_q \leq \|g\|_r \|f\|_p.$$

Ahora Grafakos reclamaciones podemos usar esto para demostrar la siguiente desigualdad debido a Hardy:

$$\left ( \int_0^\infty \left ( \frac{1}{x} \int_0^x |f(t)| \, dt \right )^p \, dx \right )^{1/p} \leq \frac{p}{p - 1} \|f\|_{L^p(0, \infty)}$$

La sugerencia es para tener en cuenta en el grupo multiplicativo $(\mathbb{R}^+, \frac{dt}{t})$ la convolución de $|f(x)| x^{1/p}$${x^{-1/p'}} 1_{[1, \infty)}$. Por lo que si utilizamos este, el lado derecho es ningún problema, es sólo un directo de la computación (que puedo agregar es que si alguien desea para referencia en el futuro). Sin embargo, si puedo calcular la convolución de recibir:

$$\int_0^{x - 1} |f(t)| (y(t - y))^{1/p'} \, dt$ $ , pero yo no veo cómo esto es mayor (o igual) a la interna de la integral en el lado izquierdo de la desigualdad. Alguna sugerencia?

Edit: Como Willie Wong señala a continuación, la convolución es malo. Es un grupo multiplicativo, no un aditivo.

Answer 1

Usted está haciendo la convolución mal. En el grupo multiplicativo $(\mathbb{R}_+, dt/t)$, la convolución es

$$f * g(x) = \int_0^\infty f(y) g(x/y) dy/y$$

(para el análisis de armónicos en un grupo abelian, usted necesita para re-interpretar la $+$ $-$ signos en las fórmulas de ser el grupo operador binario). Si se conecta, como $g$, el peso de la función Grafakos sugerido, usted debe obtener exactamente el lado izquierdo.

Sólo para ser más general: deje $(G,\mu)$ ser un grupo Abelian con un invariante de medida $\mu$ donde $\cdot$ denota el grupo operador binario, entonces la convolución de dos funciones de $f,g: G\to \mathbb{R}$ se define como la función de $G\to \mathbb{R}$

$$ f*g(y) = \int_G f(x) g(y\cdot x^{-1})\mu(dx) $$