Hace $\mathrm{Inn}(G) = \mathrm{Aut}(G)$ implica $Z(G) = \{e\}$ ? Puede $|G| > |\mathrm{Aut}(G)|$ ?

Question

¿Existe un grupo $G$ cuyo mapa de conjugación 1 $G \to \mathrm{Aut}(G)$ es sobreyectiva sin ser inyectiva?

En términos más generales, ¿existe un grupo $G$ (no necesariamente finito) tal que $|G| > |\mathrm{Aut}(G)|$ ?

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_{¹Es decir, el mapa que envía cada $g\in G$ al automorfismo de $G$ definido por $x\mapsto g\,x\,g^{-1}$ .}

Answer 1

Para su segunda pregunta, tome $G=\mathbb{Z}$ . Entonces $Aut(G) \cong C_2$ . Para un caso finito tome $G = C_p$ un grupo cíclico de orden primo $p$ . Entonces $Aut(G) \cong C_{p-1}$ .

Answer 2

Para la primera pregunta, he aquí los tres ejemplos más pequeños:

• $G=C_2$
• $G=C_2 \times \operatorname{A\Gamma L}(1,8)$
• $G\cong 2\cdot 2^3 \cdot 2^3 : 7$ es el normalizador de un subgrupo Sylow 2 en una cubierta doble del grupo simple de Suzuki de orden 29120

La segunda se generaliza a $C_2 \times \operatorname{A\Gamma L}(1,2^{2n+1})$ . Este último factor directo es un grupo completo sin subgrupos normales de índice 2. Derek Holt menciona $C_2 \times M_{11}$ como otro grupo de este tipo.

La primera y la tercera son claras porque son directamente indecomponibles.

Me interesan más ejemplos indecomponibles.

Sé que no hay ejemplos de este tipo que sean $p$ -grupos distintos de $C_2$ . Me parece impar que $2\cdot 2^3 \cdot 2^3 : 7$ existe, pero $2 \cdot 2^3 : 7$ no lo hace. ¿Existe una $2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 : 7$ ?

Answer 3

Para la primera pregunta, podría tomar $G = S \times C_2$ , donde $S$ es un grupo simple no abeliano con grupo de automorfismo externo trivial. Por ejemplo, $S=M_{11}$ .

Answer 4

Es bueno saber (más de lo que pedía el OP pero fuertemente relacionado): en la teoría de grupos un grupo $G$ se llama completa si ambos $Aut(G)=Inn(G)$ y $Z(G)=1$ . Un ejemplo es $G=S_3$ .

Teorema Si un $N$ es un subgrupo normal completo de un grupo $G$ entonces es un factor directo de $G$ .
Prueba (sketch) En general para $N \unlhd G$ existe un homomorfismo $G/NC_G(N) \hookrightarrow Out(N):=Aut(N)/Inn(N)$ Así que $G=NC_G(N)$ . Y $N \cap C_G(N)=Z(N)=1$ De ahí que $G=N \times C_G(N)$ .

Answer 5

El núcleo de este mapa es el centro de $G$ Así que usted exige que $G$ tienen un centro no trivial y no tienen automorfismos externos.

Creo que $G = S_3 \times \mathbb{Z}/2$ hace el trabajo. Es evidente que tiene un centro (el segundo factor). Cualquier automorfismo fija el centro por lo que induce un automorfismo de $S_3$ que es interior.

EDIT: lo anterior está mal (ver comentarios). Empiezo a creer que la respuesta podría ser negativa. Para un $p$ -grupo nunca es cierto.

EDIT 2: bueno, ahora que lo pienso, $G = \mathbb{Z}/2$ responde a la pregunta original del OP, aunque no de forma muy satisfactoria.