Demostrar que cada comutativo rng infinito $R$ tiene un subrng infinito $S$ s.t $S\neq R$

Question

Demostrar que cada infinito conmutativa rng $R$ tiene un subrng infinito $S$ tal que $R\neq S$. (Donde el rng no se define la identidad como un miembro). Cualquier ayuda o sugerencias de cómo hacerlo sería gran gracias, pensé que podría utilizar elementos de orden infinito en $\langle R,+\rangle$ pero luego no sé que es necesariamente elementos de orden infinito en un grupo infinito.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La afirmación es falsa. Tomar un primer $p$ y una clausura algebraica $A$ del campo con $p$ elementos. Entonces:

1. Para cada entero positivo $n$, $A$ contiene un único subcampo $F_n$ $p^n$ elementos.
2. $A$ es la unión de las $F_n$.
3. $F_m \subseteq F_n$ fib $m$ divide $n$.
4. El $F_n$ son la única finito subcampos de $A$.
5. Cualquier no-trivial subrng $S$ $A$ es un campo (si $0 \not= x \in S \subseteq A$,, $x \in F_n$ algunos $n$, por lo que el $1 = x^{p^n-1} \in S$, ya que el grupo multiplicativo del campo finito $F_n$ es cíclico).

Ahora vamos a $R_i = F_{2^i}$$R= \bigcup_i R_i$. A continuación, $R$ es infinita, y, por la de arriba, la única subcampos, y por lo tanto el único subrngs de $R$ $R$ sí y el finito subrngs $R_i$.

(hmmmm también pidió sugerencias acerca de cómo ir sobre el problema. El ejemplo anterior se trata de intentar probar el reclamo, en el que presumiblemente más fácil caso al $R$ es en realidad un anillo. Cualquier anillo tiene al menos un ideal maximal, $M$, dicen, y $R/M$ es entonces un campo. Si $M$ es infinito es infinito subrng, por lo que podemos suponer que es finito. Esto sugiere asumiendo $R$ es en realidad un campo. Si el campo $R$ tiene características de las $0$, entonces tiene un sub-anillo isomorfo a $\mathbb{Z}$, por lo que podemos asumir que la característica es una de las principales $p$. Ahora algebraica de cierre $A$ del campo con $p$ elementos tiene una bien entendida de la estructura y parece prometedor para tratar de refutar la reclamación por encontrar un contraejemplo dentro de $A$.)