Supongamos que $a_n>0$,$\sum a_n$ converge, $\{na_n\}_{\Bbb N}$ es monótona, probar $$\lim na_n\ln n=0$$
Mi intento ha demostrado hasta ahora que $\{na_n\}$ está decreciendo: de lo contrario, $na_n\ge a_1\implies a_n\ge\frac{a_1}{n}\implies \sum a_n=+\infty$, lo que contradice la convergencia de $\sum a_n$.
Mi amigo tiene un poco más: $(n+1)a_{n+1}< na_n\implies \frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{n}{n+1}$. Luego vamos a $$b_n:=\frac{a_n}{\frac{1}{n\ln n}}$$ y por lo tanto $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}<\frac{\ln(n+1)}{\ln n}$$ Sin embargo, él no puede probar la monotonía de $b_n$ debido a que el lado derecho de la desigualdad es demasiado débil. En realidad sólo muestra $\limsup \frac{b_{n+1}}{b_n}\le 1$, la cual no es efectiva aquí. Y yo no puede venir para arriba con una versión más fuerte.
Me pueden ayudar? Cualquier ayuda o sugerencia será bienvenida. Gracias!
