Necesito demostrar la continuidad de $f(x)=\log x$ utilizando una prueba de $\epsilon-\delta$

Question

Necesito demostrar la continuidad de $f(x)=\log x$ utilizando una prueba de $\epsilon-\delta$

Estos es lo que tengo hasta ahora pero no estoy seguro de cómo continuar

$|\log x-\log a| < \epsilon$

$\log a- \epsilon < \log x < \log a+ \epsilon$

$\frac{a}{e^\epsilon} < x < {a}e^\epsilon$

Cualquier ayuda es apreciada

Answer 1

Por la desigualdad, el valor absoluto de la diferencia es $\lt \epsilon$ $$\frac{a}{e^{\epsilon}}-a \lt x-a\lt ae^\epsilon -a$ $ (le resta $a$ de cada lado de cada uno de sus dos desigualdades). Que $\delta=a\min\left(1-\frac{1}{e^{\epsilon}}, e^\epsilon -1\right)$.

Comentario: En realidad, $1-\frac{1}{e^{\epsilon}}$ es el más pequeño de los dos, por lo que en efecto nos estamos dejando ser $\delta$. Pero realmente no molesta que descubrir: todos tenemos que hacer es mostrar allí es un $\delta$ que funciona.

Answer 2

Sugerencia: de la derecha (es decir, $\,x>a\,$):

$$|\log x-\log a|=\log\frac{x}{a}<\epsilon\Longleftrightarrow \frac{x}{a}<e^\epsilon\Longleftrightarrow x<ae^\epsilon\;\;(\text{remember}:\;a,x>0\,\;!)\Longrightarrow$$

$$x-a<a(e^\epsilon -1)$$

y ahí tienes tu $\,\delta>0\ldots\,$

Answer 3

Muestran en $x = 1$. Luego extenderlo utilizando el hecho de que $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$.

Answer 4

Sugerencia: $|\log x-\log a|=|log\frac xa|=|\log\frac xa-1+1|=|\log\frac{x-a}{a}+1|$ tenemos $$|x-a|\lt\epsilon$$ $% $ $|\log\frac{x-a}{a}+1|\lt |\log\frac{x-a}{a}|+1\lt |\log{x-a}|+ |a|+1\lt \log|x-a|+|a|+1$

Answer 5

Lo que intenta demostrar es que cualquier fijo $x$, $\forall\, \epsilon>0\;\; \exists\, \delta>0$ tal que $|\log(x+\delta)-\log x|<\epsilon$.

Por lo tanto, usted necesita encontrar el $\delta$ $\epsilon$ y $x$.