Deje $\omega$ ser un diferencial de $k$-forma.
$$d\omega(v_1,v_2,...v_k,v_{k+1}) = \lim_{t_j \to 0}\dfrac{1}{t_1t_2 \dots t_{k+1}}\int_{bP_t} \omega$$
donde $P_t$ es el parallelpiped formado por $t_1v_1,t_2v_2, \dots, t_{k+1}v_{k+1}$, e $bP_t$ es el orientado a la cobertura de este paralelepípedo.
Observar que esta definición se aplica incluso a $0$formas de:
$$df(v)\big|_p = \lim_{t \to 0}\dfrac{1}{t} \left( f(p+tv) - f(p)\right)$$
desde el límite de un segmento de línea que está a sólo dos puntos orientados en direcciones opuestas, y la integración en un punto es justo evaluación.
Esta definición, que puede ser establecido a partir del momento en que se define la integración de un formulario, es esencialmente un "infinitesmal" versión de Stoke teorema. Stoke teorema parece mucho menos misterioso cuando este es tu definición del exterior derivados! Aunque no puedo ver su "prueba" en la búsqueda de libros de google, supongo que es básicamente esto? De verdad que es sólo resumiendo un montón de pequeños locales orientadas a la parallelepipeds, y observando que (debido a las orientaciones) las caras interiores cancelar. Que, junto con el hecho de que el resultado vale para muy pequeñas, parallelepipeds por la definición anterior nos da el resultado.
También es muy claro, desde esta perspectiva, ¿por qué $d\circ d = 0$: si ya tienes el Stoke del teorema, se puede ver que $dd\omega$ está definida por una integral que se desvanece para todos los $t$ (aplicando stoke el teorema de la integral da una integral sobre el límite de la frontera de un paralelepípedo, que está vacía).
Lo que quizás es menos claro a partir de esta definición es la razón por la $d\omega$ es un formulario. Es claramente la alternancia, por la definición de la integración a través de una orientada a la frontera. Respeta la multiplicación escalar en cada ranura sólo por la sustitución de variables de las variables de límite. La parte difícil es ver por qué se respeta la adición de vectores en cada ranura. Voy a dejar que como un ejercicio divertido.
