Acabo de confundir con lo que mi amigo pidió (paradoja y las pruebas falsas).

Question

Tomar el $x^2=x+x+x+\cdots$ ($x$ veces). Ahora diferenciando ambos lados wrt $x$, obtenemos:

$$2x=x.$$

Esto quiere decir $x=0$ o $2=1$.

¿Cómo? ¿Dónde voy mal?

Answer 1

Lo que usted no consideran es que, mientras esté tomando derivados de la función en el lado derecho con respecto a x, el número de componentes no se fija. Por su ejemplo, lo que está haciendo es básicamente mirando la función $$ g(x,n) = xn $$ y tomando el derivado con respecto a los $x$ y evaluación de la derivada parcial en $n=x$, es decir, $g_x(x,n)|_{n=x}=n|_{n=x}=x$.

Tendría que mirar el total derivado de $g$ $n=x$, es decir, $$ dg = g_ {x} | _ {n = x} + g_n | _ {n = x} = 2 x. $$

Answer 2

El problema, en definitiva, es que la ecuación $$x^2 = \underbrace{x+\cdots+x}_x$$ only holds when $x$ es un número natural.

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Para realmente ver por qué esto es un problema, sin embargo, usted tendrá que entender ya cuantificación universal y lambda de abstracción. Tal vez busca algunos videos en YouTube sobre estos conceptos, o simplemente navegar en internet por un tiempo hasta encontrar buenas explicaciones.

De forma explícita, lo que queremos saber es:

$$\left(\mathop{\forall}_{x \in \mathbb{N}}\right)\;x^2 = \underbrace{x+\cdots+x}_x$$

En la notación de la función:

$$\left(\mathop{\lambda}_{x \in \mathbb{N}} x^2\right) = \left(\mathop{\lambda}_{x \in \mathbb{N}} \underbrace{x+\cdots+x}_x\right)$$

Así que si por $D$ nos referimos a la diferenciación de funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, que no podemos usar la ecuación anterior para deducir

$$D\left(\mathop{\lambda}_{x \in \mathbb{N}} x^2\right) = D\left(\mathop{\lambda}_{x \in \mathbb{N}} \underbrace{x+\cdots+x}_x\right),$$

porque ni de izquierda ni de derecha-mano-lados están bien definidos.

Answer 3

Mi explicación:

Mirando la definición de un derivado: $$(x^2)'=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$ $x+h\notin\mathbb{N}$, si $x\in\mathbb{N}$.

$x^2 = \underbrace{x+\cdots+x}_x$ es verdadera sólo cuando $x\in\mathbb{N}$.

Answer 4

La idea para diferenciar una función para encontrar los ceros de la función es un gran error porque los ceros de la función son diferentes de los ceros de la derivada.

Un ejemplo elemental : Solucionar $x^3-x=0$ $x$

$f(x)=x^3-x$ . Las raíces de $f(x)=0$ $-1\:,\:0\:,\:1$

$f'(x)=3x^2-1$ . Las raíces de $f'(x)=0$ $-\frac{1}{\sqrt{3}}\:,\:\frac{1}{\sqrt{3}}$

La solución de $f'(x)=0$ $x$ no dar las raíces de $f(x)=0$

Que es el mismo en el caso de una ecuación hecho de la igualdad de dos funciones diferentes : $f(x)=g(x)$

Por supuesto, las funciones de $f$ $g$ son diferentes y tenemos $f(x)=g(x)$ sólo para algunos valores de $x$ a que llamamos las raíces de la ecuación. Excepto para las raíces tenemos $f(x)\neq g(x)$ e lo $f'(x)\neq g'(x)$.

Ahora, si tenemos en cuenta la ecuación de $f'(x)=g'(x)$ esta igualdad sólo se aplica para un par de valores de y para todos los demás valores de $f'(x)\neq g'(x)$. No hay razón en absoluto para las raíces de los derivados de la ecuación de ser el mismo que el de las raíces de la ecuación original.