¿Qué es el grupo de Galois de $(t^3-2)(t^3-3)\in \mathbb{Q}[t]$?

Question

Sé que el grupo Galois de $f(t)=(t^3-2)(t^3-3)$ $\mathbb{Q}$ $Gal(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},3^{\frac{1}{3}},\xi)/\mathbb{Q})$ (donde $\xi$ es la raíz de 3 º de la unidad) y su orden es de 18 años. También sé que este grupo debe ser algunos no abeliano subgrupo de $S_3 \times S_3$. (aquí, $S_n$ es el grupo simétrico)

Pero no sé la forma exacta de este grupo de Galois.

¿Cómo podemos saber este grupo?

Answer 1

Dado que el grupo de Galois actúa sobre las raíces de esto nos da intution para la definición de automorfismos: vamos a $\sigma, \tau, \eta : \mathbb{Q}(2^{1/3},3^{1/3},\xi) \to \mathbb{Q}(2^{1/3},3^{1/3},\xi)$, $\sigma(2^{1/3}) = \xi2^{1/3}$, $\tau(3^{1/3}) = \xi3^{1/3}$, $\eta(\xi) = \xi^2$. Mediante la composición de este tipo de mapas se genera un grupo de orden $18$, por lo que este debe ser el de todo el grupo. Es fácil ver que este grupo no es abelian (como se de cuenta).

$\sigma$ $\tau$ generar un abelian subgrupo de orden $9$, que sabe que va a ser normal (índice de $2$). Usted puede construir una secuencia exacta $$\langle \sigma, \tau \rangle \to \textrm{Gal}(\mathbb{Q}(2^{1/3},3^{1/3},\xi)/\mathbb{Q}) \to \langle \eta \rangle$$ y a partir de aquí usted será capaz de exhibir el grupo de Galois como un producto directo o semi-directa del producto (sugerencia: producto directo de abeian grupos es abelian).

He aquí un abordaje más mecánico. Por los teoremas de Sylow y otros trucos de la teoría de Grupo podemos identificar todos los no-abelian grupos de orden de 18: $$D_{18}, \hspace{1mm} S_3 \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \hspace{1mm} (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ Ahora mira a las órdenes de los elementos de cada grupo y debería estar claro que el grupo puede identificar el grupo de Galois.