Dada la matriz $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) $$ de $X'= AX.\quad$ $X\left(0\right)=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)\,.\quad$ ¿cuál es la solución?.
Respuestas
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Podemos encontrar los valores y vectores propios como:
- $\lambda_{1,2,3} = 1$, lo que da un vector propio y dos vectores propios generalizados como:
- $v_1 = (0,1,0), v_2 = (1,0,0), v_3 = (0,0,1)$
Podemos escribir la solución general como:
$$X(t) = e^t\left(c_1v_1 + c_2(t v_1 + v_2) + c_3\left(\frac{t^2}{2!}v_1 + t v_2 + v_3\right)\right)$$
Usando la condición inicial, $X(0)$, podemos encontrar:
$c_1 = 0, c_2 = 1, c_3 = -2$
Nuestra solución final es entonces:
- $x(t) = e^t(1 - 2t)$
- $y(t) = e^t(t - t^2)$
- $z(t) = e^t(-2)$
Tenga en cuenta que hay muchas maneras de hacer estos tipos de problemas a partir de la matriz exponencial, matriz fundamental, conjunto de ecuaciones lineales...
Felix Marin
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$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $$ X\left(t\right) = {\rm e}^{A}\,X\left(0\right) = \expo{t}{\rm e}^{\pars {- 1}t}\,X\left(0\right) = \expo{t}\bracks{1 + \pars {- 1}\,t + \media\,\pars {- 1}^{2}\,t^{2}}X\left(0\right) $$ desde $\pars{A - 1}^{3} = 0$ donde $$ A - 1 = \pars{\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}} \qquad\mbox{y}\qquad \pars {- 1}^{2} = \pars{\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}} $$ de tal forma que: $$ 1 + \pars {- 1}t + \media\,\pars {- 1}^{2}t^{2} = \pars{\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t \\[1mm] t & 1 & \half\,t^{2} \\[1mm] 0 & 0 & 1 \end{array}} $$ A continuación, $$ X\pars{t} = \expo{t}\pars{\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t \\[1mm] t & 1 & \half\,t^{2} \\[1mm] 0 & 0 & 1 \end{array}} \pars{\begin{array}{c}1 \\[3mm] 0 \\[3mm] -2 \end{array}} = \expo{t}\pars{\begin{array}{c}1 - 2t\\[3mm] t - t^{2} \\[3mm] -2 \end{array}} \quad\imp\quad \left\lbrace\color{#0000ff}{\large% \begin{array}{rcr} {\rm x}\pars{t} & = & \pars{1 - 2t}\expo{t} \\ {\rm y}\pars{t} & = & t\pars{1 - t}\expo{t} \\ {\rm z}\pars{t} & = & -2\expo{t} \end{array}}\right. $$
