La transformación infinitesimal de Lorentz es antisimétrica

Question

La métrica de Minkowski se transforma bajo transformaciones de Lorentz como

\begin{align*}\eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \ \ \rho} \Lambda^\nu_{\ \ \ \sigma} \end{align*}

Quiero demostrar que bajo una transformación infinitesimal $\Lambda^\mu_{\ \ \ \nu}=\delta^\mu_{\ \ \ \nu} + \omega^\mu_{{\ \ \ \nu}}$ que $\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}$ .

Intenté expandirme: \begin{align*} \eta_{\rho\sigma} &= \eta_{\mu\nu}\left(\delta^\mu_{\ \ \ \rho} + \omega^\mu_{{\ \ \ \rho}}\right)\left(\delta^\nu_{\ \ \ \sigma} + \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}}\right) \\ &= (\delta_{\nu\rho}+\omega_{\nu\rho})\left(\delta^\nu_{\ \ \ \sigma} + \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}}\right) \\ &= \delta_{\rho\sigma}+\omega^\rho_{\ \ \ \sigma}+\omega_{\sigma\rho}+\omega_{\nu\rho} \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}} \end{align*}

Hace mucho tiempo que no trato con tensores así que no sé cómo proceder.

Answer 1

Tenga en cuenta que si baja un índice de la delta de Kronecker, se convierte en la métrica:

$\eta_{\mu\nu}\delta^{\mu}_{\rho}=\delta_{\nu\rho}=\eta_{\nu\rho}$

Y en tu último paso tienes un índice equivocado. Debería ser $\omega_{\rho\sigma}$ no $\omega^{\rho}_{\sigma}$ .

Entonces, los términos métricos se cancelan y se desprecian los términos cuadráticos.

Eso debería ser suficiente para resolverlo.

Answer 2

Como la transformación de Lorentz es válida para cualquier $x\in M_{4}$ se puede reescribir como $\Lambda_{\rho}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\nu}=\eta_{\rho\sigma}$ . Sustituyendo la forma infinitesimal de la transformación de Lorentz en la fórmula anterior obtenemos

$$(\delta_{\rho}^{\mu}+\omega_{\rho}^{\mu})\eta_{\mu\nu}(\delta_{\sigma}^{\nu}+\omega_{\sigma}^{\nu})+o(\omega^{2})=\eta_{\rho\sigma}$$

después de ampliar

$$\eta_{\rho\sigma}+\omega_{\rho}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\delta_{\sigma}^{\nu}+\omega_{\sigma}^{\nu}\eta_{\mu\nu}\delta_{\rho}^{\mu}+o(\omega^2)=\eta_{\rho\sigma}$$

y de esto podemos ver que

$$\omega_{\rho\sigma}+\omega_{\sigma\rho}=0\Rightarrow\omega_{\rho\sigma}=-\omega_{\sigma\rho}$$