Como usted sabe, se puede interpretar geométricamente el conjunto de todos los reales $\Bbb R$: cada punto de la línea puede ser únicamente se expresa por un número real x (a coordinar). Sin embargo, podríamos ir un paso más allá y utilizar la línea para geométricamente expreso de las operaciones entre números reales, tales como la adición. Para ello vamos a introducir los vectores y ahora cada punto de la línea y cada una de las coordenadas asociado con ese punto de representar un vector a partir de el origen y termina en el punto dado. Así, cada número real cualquiera representa un punto en la línea o un vector sobre la línea. Ahora, en la definición de la derivada$$ \frac{{\rm d} }{{\rm d}x} y(x) =\lim_{h\rightarrow0} \frac{1}{h}( y(x+h)-y(x)) $$ tenemos x+h, que sólo tiene sentido geométricamente si x y h son dos vectores (suma de los puntos de la línea no tiene ningún sentido). Mi pregunta es: con el fin De tener una significativa definición de la derivada, se debe a que la función y(x) ser geométricamente interpretarse como la asignación de vectores los vectores?
Respuestas
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Usted parece estar relacionada $\mathbb{R}$ como un espacio afín, que incluye tanto los puntos y vectores. Con esta visión del mundo, los puntos y los vectores son dos cosas diferentes, y no tiene sentido para sumar los dos puntos, como usted dice.
El artículo de Wikipedia sobre afín espacios que dice:
En un espacio afín, no se distingue punto que sirve de punto de origen. Por lo tanto, ningún vector tiene un fijo de origen y no del vector puede ser el único asociado a un punto. En un espacio afín, en su lugar hay desplazamiento de vectores, también llamado de la traducción de los vectores o simplemente traducciones, entre dos puntos del espacio. Así que tiene sentido para restar dos puntos del espacio, dándole un vector de translación, pero no tiene sentido agregar dos puntos del espacio. Del mismo modo, tiene sentido añadir un vector a un punto de un espacio afín, lo que resulta en un nuevo punto traducido desde el punto de partida que el vector.
En su definición de la derivada, creo $x$ debe ser considerado como un punto, y $h$ como un vector. La función de $x \mapsto y(x)$ debe ser considerada como la asignación de puntos a los puntos. Entonces
- $x+ h$ es un punto (la adición de un vector a un punto)
- $y(x+h)$ es un punto (un valor de la función $y$)
- $y(x+h) - y(x)$ es un vector (la diferencia de dos puntos)
- $y'(x)$ es un vector
Este punto de vista tiene sentido (creo), y es consistente con el concepto de derivada direccional en dimensiones superiores.
Como se ha mencionado en uno de los comentarios, hay una muy buena discusión del punto contra el vector de la cuestión en las respuestas a esta pregunta.
Mientras que otros han señalado que una adición de puntos puede ser definido (y por supuesto que es definido como el mismo que cuando se los interpreta como vectores), creo que su línea es moralmente correcto. (Por CIERTO: los puntos de más en general de los espacios, espacios topológicos, puede no siempre ser añadido. Así que ser capaz de añadir dos entidades es de hecho algo específico, aunque no único, para los vectores.)
Incluso cuando los derivados son generalizados de funciones entre los objetos geométricos, por ejemplo, de un círculo a una con forma de donut cosa, esto se hace por primera aproximación el dominio y el co-dominio de espacios vectoriales cerca del punto donde la derivada es deseado. Sin embargo, aquí ya se ve que el dominio y el codominio no necesita realmente consisten en vectores, pero basta con que pequeños cambios en las entradas o salidas pueden ser expresados a través de (tangencial) de los vectores.
En resumen, los derivados de responder a la pregunta: Si cambio la entrada de un bit en la dirección X, en la dirección en que hacen la función de los valores de ir. Y de los vectores de la formalización matemática de la dirección. En su pregunta, el $h$ debe discutible ser pensado como un vector, así como el valor de la derivada. Pero no necesariamente la entrada de $x$ y el de salida $f(x)$.
En una molestia sentido, la derivada $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$ de una función de $f$ es de hecho una escala de mapa que especifica cómo una (pequeña) desplazamiento (vector) $h$ a un punto de $x$ se estira en un vector de desplazamiento $f'(x)\, h$$y = f(x)$.
Comúnmente esta relación se expresa en términos de puntos de $f(x + h) \approx f(x) + f'(x)\, h$. El propio derivado, $f'(x)$, es ni un punto ni un vector.
En más configuraciones generales (tales como coordinar libre de las formulaciones de la mecánica), "puntos" en vivo en un espacio de $M$ ("manifold"). Para formular el cálculo diferencial, se introduce un totalmente nuevo espacio de $TM$ (la "tangente bundle"), cuyos elementos pueden ser considerados como pares de $(x, h)$ que consta de un punto de $x$ $M$ y un desplazamiento$h$$x$.
En esta configuración, si $f:M \to N$ es un diferenciable de asignación, su "(total) derivado" es un mapeo $f_{*}:TM \to TN$ definido por $$ f_{*}(x, h) = \bigl(f(x), f'(x)\, h\bigr). $$ El derivado $f'(x):T_{x} M \to T_{f(x)} N$ es una "transformación lineal" entre la tangente de los espacios, de una generalización de una escala de mapa.
La asimetría conceptual entre puntos y vectores se vuelve claramente visible en esta configuración. La adición de puntos no tiene sentido en absoluto. La suma "$x + h$" de un punto y un vector no puede ser visto como un punto de $M$. Esto puede ser visto como un punto de $TM$, pero ello no tiene mucho uso. En su lugar, una "sondas de lo infinitesimal de la estructura de $M$" con "caminos a través de los $x$ cuya velocidad es $h$".
