¿Cómo puedo expresar la suma de $\sin a+\sin2a+\sin3a+\cdots+\sin(n-1)a$ ?

Question

Quiero resumir los parciales de una serie armónica, ¿cómo lo hago?

Si utilizara la "identidad trigonométrica de Lagrange para resolver este problema", ¿cómo lo trazaría en Wolfram mathematica (utilizando qué entrada)?

Answer 1

Utilizando La fórmula de De Moivre , se encuentra que

$$\sin(na)=\mathrm{Im}\left(\left(e^{ia}\right)^n\right)$$

para cada número real $a$ .

Entonces, utilizando la linealidad de la parte imaginaria, su suma es claramente igual a la parte imaginaria de otra suma mucho más simple :

$$\sin(a)+\ldots+\sin((n-1)a)=\mathrm{Im}\left(e^{ia}\right)+\ldots+\mathrm{Im}\left(\left(e^{ia}\right)^{n-1}\right)=\mathrm{Im}\left(e^{ia}+\ldots+\left(e^{ia}\right)^{n-1}\right)$$

Si $a$ es un múltiplo entero de $2\pi$ , entonces su suma es claramente igual a $0$ .

Si $a$ no es un múltiplo entero de $2\pi$ entonces $r=e^{ia}\neq 1$ y los términos de la suma $e^{ia}+\ldots+\left(e^{ia}\right)^{n-1}$ son sólo los términos de la secuencia geométrica

$$r,r^2,\ldots,r^{n-1}$$

Ahora, debes recordar que si $(u_n)_{n\geqslant 0}$ es una secuencia geométrica con relación $r\neq 1$ , entonces la suma de los $N$ primeros términos de esta secuencia es :

$$u_0\frac{r^N-1}{r-1}$$

En nuestro caso, tenemos $u_0=r$ y $N=n-1$ Así que..:

$$e^{ia}+\ldots+\left(e^{ia}\right)^{n-1}=e^{ia}\frac{e^{i(n-1)a}-1}{e^{ia}-1}$$

Ahora, utilizaremos esta útil fórmula :

$$\forall \alpha\in\mathbb R,\ e^{i\alpha}-1=2ie^{i\frac\alpha 2}\sin\left(\frac\alpha 2\right)$$

(Para demostrarlo, basta con utilizar el hecho de que $\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ para todo número real $\theta$ y desarrollar el RHS).

Utilizando esta fórmula tanto en el numerador como en el denominador de nuestra última identidad, obtenemos :

$$e^{ia}+\ldots+\left(e^{ia}\right)^{n-1}=e^{ia}\frac{2ie^{i\frac{N-1}2a}\sin\left(\frac{N-1}2a\right)}{2ie^{i\frac a2}\sin\left(\frac a2\right)}=e^{i\frac N2a}\frac{\sin\left(\frac{N-1}2a\right)}{\sin\left(\frac a2\right)}$$

La parte imaginaria de la RHS es justo la suma que querías :

$$\sin(a)+\ldots+\sin((n-1)a)=\sin\left(\frac N2a\right)\frac{\sin\left(\frac{N-1}2a\right)}{\sin\left(\frac a2\right)}\quad (a\notin 2\pi\mathbb Z)$$

Answer 2

Se denominan identidades trigonométricas de Lagrange

$$\sum_{n=1}^N \sin (na)= \frac{1}{2}\cot\frac{a}{2}-\frac{\cos(N+\frac{1}{2})a}{2\sin\frac{a}{2}}$$

$$\sum_{n=1}^N \cos(na)= -\frac{1}{2}+\frac{\sin(N+\frac{1}{2})a}{2\sin\frac{a}{2}}$$

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities

Answer 3

Una pista: Múltiples por $\sin\frac{a}{2}$ y utilizar la igualdad $\sin x\sin y=\frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y))$ :

$$ \sin\frac{a}{2}(\sin a+\sin 2a+\ldots)= \frac{1}{2}(\cos\frac{a}{2}-\cos\frac{3a}{2}+\cos\frac{3a}{2}-\cos\frac{5a}{2}+\ldots) $$ etc.

Answer 4

$\sin a + \sin2a+\cdots+\sin((n-1)a)$ es la parte imaginaria de $e^{ia}+e^{2ia}+e^{3ia}+\cdots+e^{(n-1)ia}$ . Se trata de una serie geométrica finita cuya suma es expresable en forma cerrada. Será $\dfrac{\text{something}}{1-e^{ia}}$ . Multiplicando la parte superior y la inferior por $e^{-ia/2}$ lo hará

$$ \frac{\text{something}}{e^{-ia/2}-e^{ia/2}} = 2i\cdot \frac{\text{something}}{\sin(a/2)}. $$

Una vez que está en esa forma sólo tienes que mirar el numerador para encontrar la parte imaginaria.

Answer 5

Utilice la fórmula $$2\sin(x)\sin(y)= \cos(x-y)-\cos(x+y)$$

Entonces

$$2\sin(\frac{a}{2})\sin(a)=\cos(\frac{a}{2})-\cos(\frac{3a}{2}) \\ 2\sin(\frac{a}{2})\sin(2a)=\cos(\frac{3a}{2})-\cos(\frac{5a}{2}) \\ 2\sin(\frac{a}{2})\sin(3a)=\cos(\frac{5a}{2})-\cos(\frac{7a}{2}) \\ ....\\ 2\sin(\frac{a}{2})\sin(na)=\cos(\frac{(2n-1)a}{2})-\cos(\frac{(2n+1)a}{2}) \\$$

Súmalos.