Una prueba de un resultado de análisis de topología algebraica

Question

Un colega mío criado recientemente el siguiente resultado del análisis real:

Teorema: Si $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ es continua y $|f(x)-f(y)|\geq |x-y|$ % todo $x,y$, $f$ es a.

Se siente como debe ser una mancha prueba de este resultado usando grupos de homología singular o fundamental pero bastante no pude encontrar una manera de hacer que funcione. ¿Alguien sabe de una buena prueba usando topología algebraica?

Answer 1

No estoy seguro si eso es suficiente topología algebraica para usted:

Desde $\lvert f(x) - f(y)\rvert \geqslant \lvert x-y\rvert$, $f$ es inyectiva, y por la invariancia de dominio ($\leftarrow$ topología algebraica), es un mapa. Por lo tanto $f$ es un homeomorphism entre el$\mathbb{R}^2$$U = f(\mathbb{R}^2)$. Deje $g \colon U\to \mathbb{R}^2$ ser la inversa. Desde $g$ es Lipschitz continua, tiene una extensión continua $\hat{g}\colon \overline{U}\to \mathbb{R}^2$. Esta extensión debe todavía ser inyectiva: Supongamos $x_1\neq x_2$$\hat{g}(x_1) = \hat{g}(x_2) = \xi$. Hay un $x_0\in U$ $g(x_0) = \xi$ desde $g$ es surjective. Dejar sin pérdida de generalidad $x_0 \neq x_1$. Deje $V,W$ ser distintos barrios de $x_0$ resp. $x_1$. Desde $g$ está abierto, $g(V)$ es un barrio de $\xi$, y desde $g$ es inyectiva, $g(W\cap U) \cap g(V) = \varnothing$. Pero eso significa que $\xi \notin \overline{g(W\cap U)}$, y por lo tanto

$$\xi = \hat{g}(x_1) \in \hat{g}(\overline{W\cap U}) \subset \overline{\hat{g}(W\cap U)} = \overline{g(W\cap U)} \subset \mathbb{R}^2\setminus \{\xi\}$$

es una contradicción.

Desde la extensión de $\hat{g}$ $g$ todavía es inyectiva, y $g$ es surjective, se deduce que el $\overline{U} = U$, y desde $\mathbb{R}^n$ está conectado y $U\neq\varnothing$ se sigue que $U = \mathbb{R}^2$.

(Nota: la misma prueba, funciona en todas las $\mathbb{R}^n$.)