Teorema de uniformization para superficie compacta

Question

¿Por qué en la prueba de la Proposición 6 de http://arxiv.org/abs/0909.1665, afirman que si un % de superficies incrustadas $\Sigma^2 \subset (M^3,g)$es homeomorfa a $\mathbb{RP}^2$, donde $M$ colector compacto, entonces, por Teorema del uniformization, existen diffeomorphism $\phi: \mathbb{RP}^2 \rightarrow \Sigma$ tal que $\phi^{*}g$ es conformal a métrica estándar en $\mathbb{RP}^2$?

¿Alguien me puede ayudar?