Por qué ${ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }$ es divergente , pero ${ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} }$ es convergente?

Question

No entiendo por qué la ${ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }$ es divergente, pero ${ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} }$ es convergente y su límite es igual a ${ \displaystyle\frac{\pi^2}{6} }$. En ambos casos, ${n^{th}}$ plazo tiende a cero, de modo que lo que hace que estas series diferentes?

${ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + }$ ...

${ \displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + }$ ...

Answer 1

Como littleO el comentario dice, la diferencia es en cuanto a la rapidez de los términos se va a cero. Términos va a cero no es suficiente. La tasa a la cual los términos de la caries también hace una diferencia. En el ejemplo, si se considera $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$$ donde $p$ puede tomar cualquier (vamos a quedarnos con el real) valor por ejemplo, para $p=1$ como ya digo, la serie diverge. Pero para $p=2$ tenemos la convergencia. Resulta que $p=1$ es el "límite" entre la convergencia y la divergencia. Mientras $p$ es mayor que uno, no importa qué tan cerca de uno, la serie converge. Y mientras $p\leq1$ la serie van a divergir.

Cada cálculo estudiante (incluido yo mismo) por el camino pasa a través de estas dos etapas. Primero yo no podía creer que sumar infinitos términos (no importa cuán pequeño) nos puede dar un número finito. Entonces pensé siempre y cuando los términos ir a cero tenemos la convergencia. Sus cosas difíciles, pero un montón de diversión.

Answer 2

Podemos ver que la serie armónica, $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1k$, se bifurca el uso de la clásica observación: $$ \frac11+\frac12+\underbrace{\frac13+\frac14}_{\mbox {$2$}}+\underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{\mbox {$4$}}+\dots+\underbrace{\frac1{2^n+1}+\dots+\frac1{2^{n+1}}}_{\mbox{$2^n$ }}+\dots $$ donde cada agrupación de términos totales, al menos,$\frac12$.

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La serie $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}$ converge a un valor de $\le2$ por comparación: $$ \frac1{1^2}+\underbrace{\frac1{2^2}}_{\Large\lt\frac1{1\cdot2}}+\underbrace{\frac1{3^2}}_{\Large\lt\frac1{2\cdot3}}+\underbrace{\frac1{4^2}}_{\Large\lt\frac1{3\cdot4}}+\dots+\underbrace{\frac1{n^2}}_{\Large\lt\frac1{(n-1)n}}+\dots $$ y $$ \begin{align} &\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\dots+\frac1{(n-1)n}+\dots\\ &=\left(\frac11-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\dots+\left(\frac1{(n-1)}-\frac1n\right)+\dots\\ &=1 \end{align} $$ Esta última serie se llama "telescópica suma" desde la última parte de cada plazo, se cancelará la primera parte del siguiente plazo, dejando sólo la primera parte de la primera y la última parte de la pasada legislatura. Desde la última parte de la pasada legislatura se desvanece, esta serie converge a la primera parte del primer término.

Answer 3

Suma está estrechamente relacionada con la integración. Para un no-aumento de la función $f$ hemos $$\sum_{n=t+1}^\infty f(n) \leq \int_t^\infty f(x)\mathrm{d}x \leq \sum_{n=t}^\infty f(n)$$ o expresado de manera diferente $$-f(t) + \sum_{n=t}^\infty f(n) \leq \int_t^\infty f(x)\mathrm{d}x \leq \sum_{n=t}^\infty f(n)$$ o, equivalentemente, $$\int_t^\infty f(x)\mathrm{d}x \leq \sum_{n=t}^\infty f(n) \leq f(t) + \int_t^\infty f(x)\mathrm{d}x$$

Así que si la integral existe, la suma diverge si la integral es $\infty$ - la suma de los límites de la integral, y viceversa.

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Consideremos $p>1$: \begin{align} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x &= \int_1^{\infty} x^{-p} \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{1-p}(\lim_{x\rightarrow\infty} x^{1-p} - 1^{1-p}) \\ &= \frac{1}{p-1} \end{align}

lo que significa que la suma correspondiente converge. Incluso obtener algunos límites, en particular $$ \frac{1}{p-1} \leq \sum_{n=1}^\infty n^{-p} \leq \frac{1}{p-1} + 1$$

Si $p = 1$

\begin{align} \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x &= \lim_{x\rightarrow\infty} (\ln x) - \ln 1 \\ &= \infty \end{align}

lo que significa que la suma correspondiente diverge.

Así que podemos concluir que la suma de $\sum_{n=1}^\infty n^{-p}$ converge iff $p>1$.

Answer 4

El siguiente ejemplo puede resultar más fácil de entender. Considerar la serie $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots. $$ Así que tenemos $2$ copias de $\frac{1}{2}$, $4$ copias de $\frac{1}{4}$, $8$ copias de $\frac{1}{8}$, $16$ copias de $\frac{1}{16}$, y así sucesivamente así para siempre.

El $2^k$ copias de $\frac{1}{2^k}$ agregar a a $1$, por lo que las sumas parciales ser arbitrariamente grande, y por lo tanto nuestra serie diverge.

Ahora mira en la serie de los cuadrados de los números de arriba. Tenemos $$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}+\cdots $$ La primera entrada es $1$. La próxima $2$ entradas agregar a a $\frac{1}{2}$. La próxima $4$ entradas agregar a a $\frac{1}{4}$. La próxima $8$ entradas agregar a a $\frac{1}{8}$. Y así para siempre. Así que el total es $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$$ This geometric series has sum $2$.