¿Cómo puedo calcular la derivada de una función a trozos como ésta?

Question

Cómo puedo calcular la derivada de $$f(x) = \left\{ \begin{gathered} {x^2}\quad,\quad{\text{if}}\quad x \in \mathbb{Q} \\ {x^3}\quad,\quad{\text{if}}\quad x \notin \mathbb{Q} \\ \end{gathered} \right.$$ en algunos $x\in \mathbb{R}$ ?

Answer 1

SUGERENCIA:

La derivada existe si $\lim _{y \to x} \dfrac{f(y) - f(x)}{y - x}$ existe. Por supuesto, un límite debe ser el mismo a lo largo de cualquier secuencia de Cauchy. Entonces, ¿en qué puntos existe la derivada? (sí existe en algún lugar )

Answer 2

La primera información útil que hay que buscar es si la función es continua en cualquier $x$ . Después de todo, una función no tiene una derivada bien definida cuando no es continua.

A continuación, analiza los puntos en los que es continua. ¿Tiene allí una derivada? Una pista es que siempre hay un punto racional entre dos números reales (que no son iguales) y que siempre hay un punto irracional entre dos números reales (de nuevo, no iguales).

Answer 3

¿Qué te hace pensar que tiene un derivado? ¿No tiene que ser una función continua para ser diferenciable?