Que $R$ ser un anillo comutativo. Claramente el núcleo de $h$ es un ideal primo cuando $h: R \rightarrow \mathbb{Z}$ es un homomorfismo del anillo. ¿Pero es la verdad de converse: cada primer ideal surge como núcleo de un homomorfismo en $\mathbb{Z}$?
Respuestas
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Que $R$ sea un campo de innumerables cardinalidad. Para un contraejemplo mínimo, que $R = \mathbb{F}_2$.
El salvamento correcto es que cada primer ideal se presenta como el núcleo de un homomorfismo en cierto dominio integral (de hecho, en algún campo). No debería ser posible decir algo más fuerte que esto.
GmonC
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Lo contrario es muy, muy falso. Por ejemplo si $R$ es un anillo de característica distinto de cero (piensa en $\mathbb Z/n\mathbb Z$ $n>0$), allí no son ningún % homomorphismes $R\to\mathbb Z$en absoluto, sin embargo, $R$ será siempre (asumiendo el axioma de elección) tiene al menos un primer ideal. Simple contraejemplo $\mathbb Z/2\mathbb Z$ y su cero ideal, o (si no te gusta cero ideales) $\mathbb Z/4\mathbb Z$ y su ideal $\{\overline0,\overline2\}$.
Fox
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139
Si $h: R \rightarrow \mathbb{Z}$ es un anillo homomorphism, a continuación, $h$ es también un homomorphism de (aditivo) abelian grupos. Si $P$ es el núcleo de $h$, $R/P$ es isomorfo a la imagen de $h$, que es un subgrupo de $\mathbb{Z}$. Y un subgrupo de $\mathbb{Z}$ es trivial o isomorfo a $\mathbb{Z}$.
Así que si $P$ es un primer ideal de $R$ (primer ideales son, por definición adecuada, por lo $R/P$ nunca es trivial) tal que $R/P$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}$ como un grupo abelian, a continuación, $P$ no puede posiblemente ser el núcleo de un homomorphism $R \rightarrow \mathbb{Z}$. Hay un montón de primer ideales que se ajustan a esta descripción. Si $R$ $\mathbb{Z}$ sí, y $P = \mathbb{Z} p$ para algunos el primer número$p$, $R/P$ es finito!
