Cuál es el máximo global de $x^{1/x}$

Question

Que la siguiente función se define como tal: $$F_x: \Bbb R \to \Bbb C, x \mapsto x^{1/x}, \forall x \ne 0$ $

Lo que quiero saber es $$\max_{x<0}\Re\left(F_x\right)=\,?$ y $$\max_{x<0}\Im\left(F_x\right)=\,?$ $

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Preguntas adicionales

• ¿Por qué $F$ actúa raro cuando acercarse a $0$ la izquierda? Por ejemplo $$\lim_{x\to0^-}F_x=\infty \text{ and }\lim_{x\to0^+}F_x=0$ $
• ¿Qué pasa con la oscilación cuando se aproxima?
• ¿$\Re(F_x)$ Y $\Im(F_x)$ en el enfoque de izquierda?
• ¿Hay cualquier otra función con comportamientos similares?

Answer 1

Para $x\gt0$, tenemos $$ x^{1/x}=e^{\log(x)/x} $$ Como $x\to0^+$, $\log(x)/x\to-\infty$.
Como $x\to+\infty$, $\log(x)/x\to0$.
En el medio, $\log(x)/x$ tiene un máximo de $1/e$$x=e$. Recibimos esta mirando sus derivados, que es $\frac{1-\log(x)}{x^2}$.

Por lo tanto, para $x\gt0$, tenemos una infimum de $0$ $x\to0^+$ y un máximo de $e^{1/e}$$x=e$.

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Para $x\lt0$, vamos a $x=-t$. Luego, tomando a $\log(x)=\log(-t)=\log(t)+i\pi$, obtenemos $$ \begin{align} x^{1/x} &=e^{-(\log(t)+i\pi)/t}\\ &=(\cos(\pi/t)-i\sin(\pi/t))e^{-\log(t)/t} \end{align} $$ Como $t\to0^+$ (que es, $x\to0^-$), $-\log(t)/t\to+\infty$.
Como $t\to+\infty$ (que es $x\to-\infty$), $-\log(t)/t\to0$.
En el medio, $-\log(t)/t$ tiene un mínimo de$-1/e$$t=e$.

Por lo tanto, para $t>0$, $e^{-\log(t)/t}$ tener un mínimo de $e^{-1/e}$ $t=e$ y un supremum de $+\infty$$t\to0^+$.

Sin embargo, desde $$ \begin{align} \mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right)&=\hphantom{-}\cos(\pi/t)e^{-\log(t)/t}\\ \mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)&=-\sin(\pi/t)e^{-\log(t)/t} \end{align} $$ el hecho de que $e^{-\log(t)/t}$ crece sin límite y el $\sin(\pi/t)$ $\cos(\pi/t)$ oscilar más rápido y más rápido entre el $+1$ $-1$ $t\to0^+$ significa que $$ \begin{align} \limsup_{x\to0^-}\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right) &=\limsup_{x\to0^-}\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)=+\infty\\ \liminf_{x\to0^-}\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right) &=\liminf_{x\to0^-}\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)=-\infty\\ \end{align} $$ que a su vez implica $$ \bbox[5px, border: 1px solid #C00000]{ \begin{align} \sup_{x\lt0}\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right) &=\sup_{x\lt0}\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)=+\infty\\ \inf_{x\lt0}\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right) &=\inf_{x\lt0}\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)=-\infty\\ \end{align} } $$

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Parcelas de $\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right)$$\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)$:

$\hspace{3.2cm}$

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Otras Respuestas

$\ \small\bullet$ El extraño comportamiento cuando se aproxima $0$ desde la izquierda es doble:

En primer lugar, para $x\lt0$, $\log(|x|)/x\to+\infty$ como $x\to0^-$; por lo tanto, $\left|\,x^{1/x}\,\right|=e^{\log(|x|)/x}\to+\infty$.

Segundo, debido a las $\pi i$ $\log(x)$ $x\lt0$, $\arg\left(x^{1/x}\right)=\pi/x$ las fuerzas de ambas partes real e imaginaria de oscilar positivos y negativos.

$\ \small\bullet$ $x\lt0$, $\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right)^2+\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)^2=e^{\log(|x|)/x}$ Y $\frac{\displaystyle\mathrm{Im}\left(x^{1/x}\right)}{\displaystyle\mathrm{Re}\left(x^{1/x}\right)}=\tan(\pi/x)$.

Answer 2

Sí, por supuesto. Ahora, para los verdaderos valores.

Para x → 0 tenemos dos casos: uno es donde la función tiene valores reales. Si usted mira los valores de x como -1/n Sr(-1/n) = (-1/n)^-n = ± 1/nⁿ , que en valor absoluto → 0. Vas a obtener el mismo resultado con cualquier secuencia de x → 0^- por la que el Sr(x) es real.

Ahora el caso en que Sr(x) es complejo. Considerar, por ejemplo, x = -8/9. (-8/9)^-9/8 = (8/9)^-9/8(-1)^-9/8. Las raíces de -1 en el círculo unidad, por lo que el valor absoluto no puede exceder de |(-8/9)^-9/8| =(9/8)^9/8, pero podría estar cerca de si la raíz de elegir tiene valor absoluto cerca de 1. Considerar |Sr(-4/9)| está cerca (9/4)^9/4, una mayor base y un exponente más grande. Dado que la varianza en el valor absoluto de las raíces más cercano a 1 debe ser pequeño, parece como si este tipo de secuencia → ∞ Usted tiene un par de cosas para las uñas de abajo para formalizar este. Una vez hecho esto se puede atrapar a otros con secuencias complejas Sr dentro de las secuencias sabe que son → ∞.

Sin embargo, tiene el problema de que algunas de las subsecuencias son reales y van a cero. Así que yo diría que en general no tienen un límite. Si desea que el ∞ límite, usted va a tener que ceñirte a las secuencias donde Sr(x) es complejo.

Usted tiene creo que un problema adicional, que es que si tienes que elegir los ceros de (-1) cuyos valores son cercanos a 0, el |la Sr| no → ∞.

Espero que esto ayude.

Answer 3

¿Corregirme si soy mal, pero esto es no de Steiner problema editadas sobre el número de Euler?

Lo encontró con una desigualdad, $e^{(x-e)/e} \geq 1 + \dfrac{x-e}{e}$.