Construcción geométrica de la ley de Snell?

Question

De Snell de la ley de la óptica geométrica establece que la relación de los ángulos de incidencia $\theta_1$ y del ángulo de refracción $\theta_2$, como se muestra en la figura 1, es el mismo como lo opuesto a la relación de los índices de refracción $n_1$$n_2$.

$$ \frac{\sin\theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1} $$

(figura originaria de wikimedia)

Ahora vamos a $P$ ser un punto en un medio (con índice de refracción $n_1$) y $Q$ a un punto en el otro como en la figura. Mi pregunta es, existe una buena construcción geométrica (en el mejor usando sólo regla y compás) para encontrar el punto de $O$ en la figura que la ley de Snell es satisfecho. (Supongamos que usted sabe la interfaz y $n_2/n_1$)?

Editar Hace mucho tiempo user17762 anunció a publicar una construcción. Sin embargo, hasta ahora no hay una simple construcción fue dada por nadie. Así que, ¿alguien sabe cómo hacer esto?

Answer 1

Para ampliar Han de Bruijn comentario: Suponga $P=(x,y_1)$$Q=(x',-y_2)$$x'-x=:d>0$. Entonces tenemos que resolver el sistema $$\eqalign{x_1+x_2&=d\cr {n_1x_1\\sqrt{x_1^2+y_1^2}} y={n_2x_2\\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\cr}$$ para$x_1$$x_2$. La introducción de $x_2:=d-x_1$ en el cuadrado de la segunda ecuación conduce a una ecuación de grado $4$ $x_1$ no tener soluciones obvias en términos de ecuaciones de segundo grado. De esto podemos concluir que no hay ninguna regla y compás de la construcción de la ruta en cuestión, dada la relación de ${n_1\over n_2}$.

Answer 2

EDIT 3: (EDIT1 / EDIT2 se retiró debido a un error encontrado.)

Como consultar mi comentario opciones hasta ahora no respondió OP, supongo que los puntos P y Q se dan como fijo, y la interfaz de dirección es dada,pero no es necesario para pasar a través de cualquier punto dado. En consecuencia, dado temporal de la interfaz de dirección de la recta L paralela desplazada a pasar a través del punto de incidencia I, sin embargo, para ser descubierto.

Etiqueta que se utiliza en lugar de O para evitar imaginar punto de incidencia como fijo en el origen.

Dibujar las direcciones paralela y perpendicular a L que pasa por P y Q, de modo que se cruzan en C. Dividir PC en la relación $ n_2 : n_1 $ en la forma habitual ( Dibujar $ n_2 , n_1 $ pulgadas o centímetros de la esquina y trazar paralelos para tales proporcional de la división de la línea L en dos segmentos). Dibuja una línea NN paralelo para control de calidad. Vamos a la mediatriz de PQ se cruzan NN I, el punto que está siendo buscado.Dibujar la línea XX paralelo de la PC. Ahora XX es la interfaz de línea recta.Desde $ PI= QI $,

Caso especial cuando P y Q son con respecto a un determinado fijo horizontal de la Interfaz (pendiente L = 0):

Es más fácil. Dividir a la proyección horizontal de PQ en la relación $ n_2:n_1 $ a dibujar la línea vertical NN. La mediatriz de PQ cortes NN en el punto deseado I.

$$ \dfrac{\sin i}{\sin r}= \dfrac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \dfrac {PN/PI}{QN/QI} = \dfrac{PN}{QN} = \dfrac{n_2}{n_1} = \mu. $$

La interfaz no puede ser una línea fija. Yo había respondido a la pregunta en alemán de grupos de noticias de.sci.mathematik.

El único camino para que un rayo de luz para viajar entre dos puntos fijos es tener una interfaz curva en forma de una de las curvas confocal Cartesiano Óvalos. Este es un geométrica directa consecuencia de Fermat Ley.

En otras palabras perpendiculares a colocado correctamente la interfaz normal debe estar en relación $ n_2/n_1. $

Answer 3

Esto podría ser un poco trivial, pero...

$n_1,n_2$ son el radio de los círculos. Las líneas rojas horizontales son equidistantes del eje horizontal.

Gráfico interactivo en GeoAlgebra, aquí: http://tube.geogebra.org/student/m771807

Usted puede jugar moviendo el punto de $B$ horizontal (de ahí el cambio de $n_1/n_2$) y moviendo el punto de $C$ sobre la circunferencia (cambiando el ángulo de incidencia).

Answer 4

Ya que no puedo sacar una foto voy a describir la prueba con palabras, y el uso de la imagen de la OP. La prueba se requiere sólo de la geometría euclidiana y el resultado

Lema: la luz se mueve en línea recta, en un medio dado.

Considere la posibilidad de un problema ficticio donde la fuente en el lado 1 ha sido desplaced verticalmente tan lejos que se encuentran en la continuación de la línea de $QO$ en el medio 1, llamar a esta fuente de $P'$. En tales ficción configuración de la fuente $P'$ se encuentra en la línea recta $P'OQ$ y la luz sigue un camino recto, porque ahora el ficticio medio tiene el mismo índice de refracción $n_2$. Sin embargo, el nuevo camino de $P'O$ cuentas para los diferentes velocidades en diferentes medios de comunicación, en particular, que debe ser $n$ veces más larga que la ruta original (assumming $n_1=1$, $n_2= n$ sin pérdida de generalidad). Por la construcción de $P'$ tiene:

$$ P O \sin(\theta_1) = OP \sin (\theta_2) $$ Ahora el kinematical condición nos dice que la nueva ficción path $P'O$ debe $n$ veces más de $PO$ porque la luz es ahora $n$ veces más lento y rutas de $PO$ $P'O$ toman el mismo tiempo para viajar. Que significa:

$$ P O = n PO $$ a partir de la cual la relación de la siguiente manera. Hemos transformado el problema en un trivial de un rayo de luz que viaja desde $P'$$Q$, y que lleva el mismo tiempo que el original.