¿Álgebra de Banach, mapa $f \mapsto {1\over{2\pi i}} \int_S f(z) \cdot (z - a)^{-1}dz$ bien definidos?

Question

Que $A$ ser un álgebra de Banach $\mathbb{C}$ y $N: A \to \mathbb{R}_{\ge0}$ la norma multiplicativa correspondiente. ¿Para cualquier $a \in A$, definimos el $$\text{spec}(a) = \{\lambda \in \mathbb{C} : \lambda - a \text{ is not invertible}\}.$$Fix $ r > N (a) $ and let $s = \{z \in \mathbb{C}: | z | = r\}$ be the circle in $\mathbb{C}$ of radius $r$. Further, let $\mathcal{H}$ be the algebra of holomorphic functions $\mathbb{C} \setminus \text{spec}(a) \to \mathbb{C}$. Is the map$$\mathcal{H} \to A,\text{ }f \mapsto {1\over{2\pi i}} \int_S f(z) \cdot (z - a)^{-1}dz$$even bien definidos?

Answer 1

Desde $r>||a||$ y $||(a/z)^n||\leq (||a||/r)^n$ $z\in S$, la serie $\sum_{n\geq 0}z^{-1}(a/z)^n$ converge uniformemente en norma a $(z-a)^{-1}$ $S . $ así que podemos reemplazar $(z-a)^{-1}$ en la integral con la serie de encendido, y debido a la convergencia en norma es uniforme, podemos integrar término por término y el operador $$g(x)=\left(\frac {1}{2\pi i}\int_{|z|=r}\frac {f(z)}{z-a}dz\right)(x)$$exists for each $x\in A$... (Nota: ahora que lo tienes, ¿qué haces con él?)