Resolver la desigualdad $(x^2+3)/x\le 4$

Question

Se trata de la desigualdad

$$\left(\frac {x^2 + 3}{x}\right) \le 4 $$

Se trata de cómo solucionarlo

Se cancela el $x$ en el lado izquierdo y $4x$ se resta de ambos lados.

$$\not{x} \left (\frac {x^2+3} {\not{x}}\right) \le 4x $$

$$ x^2+3 - 4x \le 4x - 4x $$

$$x^2 -4x + 3 \le 0 $$

Entonces es factorizar el trinomio

$$(x-3)(x-1) \le 0 $$

Por lo tanto

$$1\lt x \lt 3 $$

Alguien me puede decir si cometo un error, o si el proceso es lo suficientemente bueno. ¿Habrán hecho algo diferente?

Answer 1

Sugerencias:

$$\frac{x^2+3}x\le 4\implies\frac{x^2-4x+3}x\le 0\iff \frac{(x-3)(x-1)}x\le 0\;\;(*)$$

y ahora usted puede aplicar lo que aquí llamamos "el método de serpiente": en la línea real, marcar los puntos donde las expresiones numerador o denominador se desvanecen, que se $\;0,1,3\;$ , y dentro de uno de estos dominios, es decir, $\;x< 0\;,\;\;0<x\le 1\;,\;\;1\le x\le 2\;$ encontrar el signo de la expresión...y, a continuación, los signos se alternan de dominio para el dominio!

Por ejemplo, aquí podemos encontrar fácilmente que en $\;x=2\;$ ( es decir, en $\;1< x\le3\;$), la expresión del signo es negativo, de modo que los dominios son signos de

$$\begin{align}&x<0&||&\;\;\;0<x\le 1&||&\;\;\;1\le x\le 3&||&\;\;\;3\le x\\{}\\ &\;\;\color{red}{--}&||&\;\;\;\;\;\;++&||&\;\;\;\;\;\;\color{red}{--}&||&\;\;\;\;++\end{align}$$

y ahora sólo tienes que elegir la correcta para lo que usted desea:

$$\color{green}{x<0\;\;or\;\;1\le x\le3}$$

Midly ejercicio interesante: por qué y cómo el anterior funciona? Preste atención al hecho de que todos los factores en la igualdad (*) han extraño poder (en este caso, $\;1\;$)

Answer 2

Nunca multiplicar una desigualdad por una variable ya que al multiplicar por un número negativo tiene que cambiar el signo.Esto es cómo este tipo de problemas deben ser resueltos $$\frac{x^2+3}{x}\leq 4\\\frac{x^2+3}{x}-4\leq 0\\\frac{x^2-4x+3}{x}\leq 0\\\frac{(x-3)(x-1)}{x}\leq 0$$ Ahora usted debe escupir en los casos

• $x<0$ , Entonces usted tiene que $x,(x-1),(x-3)$ son todos negativos, de modo que todo es negativo
• $0<x<1$ , Entonces usted tiene que $x$ es positiva y $(x-1),(x-3)$ negativo por lo tanto la expresión es positiva desde el 2 de negativos dar positivo
• $1<x<3$ , Entonces usted tiene que $x,(x-1)$ son positivos y $x-3$ es negativo por lo tanto la expresión es negativa
• $x>3$ todo es positivo por lo tanto la expresión es positiva

Ahora puedes ver que $x<0$ $1<x<3$ son soluciones,ahora para comprobar los límites,$x=0,1,3$ se puede ver que para $x=0$ es indefinido y que $x=1,3$ ajuste de modo que la solución es $x\in(-\infty,0)\cup [1,3]$

Answer 3

Para hacer frente a fracciones, podemos multiplicar ambos lados de $\left(\frac {x^2 + 3}{x}\right) \le 4$ $x^2>0$ (aquí, $x\neq 0$): $$ (x ^ 2 + 3) x\leq 4 x ^ 2\iff x ^ 3 + 3 x x-4 ^ 2\leq 0\iff x(x-1)(x-3) \leq 0. $$ queremos que el producto de 3 factores para estar nonpositive hay un número impar de factores no negativos entre $x-3<x-1<x$. Esto sólo puede suceder cuando $$ x-3 < x-1 < x < 0 \quad\text{or}\quad x-3\leq 0\leq x-1 < x. $$ por lo tanto, las respuestas son $x<0$ o $1\leq x\leq3$.

Answer 4

El problema es que cuando se multiplica una desigualdad por un número negativo, la desigualdad invierte. Lo que usted ha comenzado es el caso donde $x$ es positiva. El intervalo entero que llegar es positivo, por lo que el intervalo de todo funciona.

Negativo, por el contrario, se trata de

$$(x-3)(x-1)\ge0$ $ $$x<1\text{ or }x>3$ $ Los casos solamente aquí donde $x<0$, es, bueno... $x<0$. Se dará cuenta de su ecuación original que $x$por ciento negativo, el lado izquierdo es negativo y claramente inferior al $4$.

Answer 5

usted debe hacer caso trabajo, $x>0$ tenemos $$x^2-4x+3\le 0$$ and we get the solution set $$1\le x\le 3$$ for $x # < 0$ we have to solve $x^2-4x+3\geq 0 $ since $x < 0$ we get $% $ $-\infty<x<0$