¿Es el conjunto de $\big\{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\big\}$ compacto en $\left(\mathbb{R}^2,\sigma\right)$?

Question

Definir $\sigma$ por

$\sigma \big (\left (x_1, y_1\right), \big \left (x_2, y_2\right)) =\begin{cases} \hfill \big|{y_1 - y_2}\big| \hfill & \text{ if %#%#%} \\ \hfill \big|{x_1 - x_2}\big| + \big|y_1\big|+\big|y_2\big| \hfill & \text{ if %#%#%} \\ \end{casos} $$

Ya he demostrado que $x_1 = x_2$ es una métrica. He jugado alrededor tratando de esbozar $x_1 \neq x_2$ y han llegado a la conclusión de que es que un cuadrado girado 45 grados y que no contienen los bordes. Sus vértices están en $\sigma$ y está completamente contenido dentro del círculo unidad.

por ejemplo, $B_\sigma \big(\left(0,0\right),1\big)$ si las "líneas" eran puntos.

Desafortunadamente, esto aún tiene que producir una epifanía.

Answer 1

Que $D = \{ x^2 + y^2 \le 1\}$. Considerar el conjunto de $$C = \{x^2 + y^2 = 1,\ \ y \ge 1/2\}.$ $ para cada $(x, y)\in C$, que $B_{(x, y)}$ ser la pelota centrada en $(x, y- \delta)\in D$ % radio $r = 2\delta$, donde $\delta < 1/4$. En primer lugar, es $(x, y)$ $B_{(x, y)}$ %#% $ de #% por otra parte, si $$\sigma ((x, y), (x, y-\delta)) = \delta <2\delta =r.$ y $(\bar x, \bar y) \in C\setminus \{(x, y)\}$ y así %#% $ #% así tenemos $\bar x \neq x$ $ ahora por una bola de centrado en $$\sigma( (x, y-\delta), (\bar x, \bar y)) \ge |\bar y| \ge 1/2 > 2\delta = r. $ así que $$B_{(x, y)} \cap C = \{(x, y)\}.$todo $(x, y) \in D\setminus C$, que $\tilde B_{(x, y)}$ #% no contiene $(x, y)$. Luego abra la tapa

$\tilde B_{(x, y)}$$

de $C$ no tiene una cubierta sub finita ya que deben contener todas las $$\left\{B_{(x, y)} : (x, y) \in C \right\} \cup \left\{\tilde B_{(x, y)} : (x, y) \in D\setminus C \right\} $. Así $D$ no es compacto.

Answer 2

$$\text {Let } D=\{(x,y) : x^2+y^2\leq 1\}.$$ $$\text {Let } c=\cup \{B_{\sigma}((x,0),3/5) : |x|\leq 1\}.$$ $$\text { For } |x|<1 \text { let } V(x)=B_{\sigma}((x,3/5),3/5) \cup B_{\sigma}((x,-3/5),3/5).$$ $$\text {Let } F=\{V(x) : |x|< 1\}\text { and let } G=F\cup \{c\}.$$ Then $G$ is an open cover of $D$ . Observe that for $|x|\leq # 3/5 #%(x,3/5) \in D \backslash c $ we have (1)... $v (y) = \ {y\} \times J $, and (2)... $J $ where $(0,6/5) $ is the union of the real intervals $(-6/5,0) $ and $(x,3/5) \not \in V (y) $ , so $y % = x $ unless $F $... The members of $D $ are pairwise disjoint, and each one has non-empty intersection with $G $. Conclusion: Any sub-cover of $v (x) $ must include $x\in [-3/5,3,5]$ for every $G$ no tiene ninguna sub-cubierta finita (o incluso contable)