¿Por qué el dominio complejo del coseno es naturalmente una esfera?

Question

Cerca del final de este artículo de la MAA sobre las curvas elípticas El autor explica por qué el dominio complejo de la función coseno es una esfera: como es periódica, su dominio puede tomarse como un cilindro, envolviendo el eje real. Y como el coseno de $\theta\pm i\infty$ es $\infty$ los dos extremos del cilindro pueden identificarse con un único punto $\infty$ . Ok, genial, pero esto me suena a un toroide pellizcado. ¿Puedo tener una explicación más clara de por qué esto es una esfera?

Answer 1

Permíteme empezar diciendo que tienes razón en cierto sentido, y creo que el artículo, en el mejor de los casos, está siendo poco claro, pero el punto más amplio de que la ecuación de la elipse recorta una esfera también es correcto. Hay varias cosas que suceden, de ahí que la respuesta sea larga a continuación.

Lo que se intenta describir es la topología de un conjunto definido por una ecuación cuadrática $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . Por supuesto, es de vital importancia explicar qué valores $x$ y $y$ se les permite tomar. En el contexto del artículo, esto significa si se permiten sólo valores reales o también complejos (esto es la cuestión de elegir el campo de coeficientes), y si se permiten valores infinitos y en qué sentido (esto es una elección de compactación). Ambas elecciones afectan a la topología del conjunto de soluciones. Si sólo se permiten valores reales finitos, el resultado es la conocida elipse en el plano (que tiene la topología de un círculo); ahora hay varias opciones sobre cómo tratar la adición de valores infinitos de $x$ y $y$ . Sin embargo la elipse (real) no va al infinito de ninguna manera (se queda en la parte finita del plano; o, en otras palabras, ya es compacta por lo que no necesita compactación; algebraicamente, ningún vector real con módulo grande puede resolver $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ). Por tanto, para esta ecuación sobre números reales la segunda opción es irrelevante. Sin embargo (¡spoiler!) no es irrelevante para los números complejos.

Para ver mejor lo que está pasando vamos a ceñirnos a las variables reales por ahora, pero consideremos la ecuación $uw=1$ en su lugar. Las soluciones a esto en $\mathbb{R}^2$ define una hipérbola y ésta tiene topología de 2 líneas. Ahora bien, si compactamos $\mathbb{R}^2$ a la esfera - tratando todos los puntos en el infinito como uno - obtenemos un punto extra, y la topología del conjunto solución es una cuña de dos círculos. Si tratamos $u$ -infinidades y $v$ -infinidades como diferentes (compactar cada $\mathbb{R}$ a $S^1$ Así que $\mathbb{R}^2$ se compacta en $S^1\times S^1$ ), entonces obtenemos 2 puntos extra (" $(\infty, 0)$ " y " $(0, \infty)$ ") y una topología de un solo círculo. También podemos compactar $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}P^2$ (y aún así obtener un círculo), o a $\mathbb{D}^2$ (y obtener dos segmentos cerrados) o cualquier otro número de cosas, algunas más naturales que otras. Para terminar con la discusión sobre $\mathbb{R}$ , obsérvese que si consideramos $(u-v)(u+v)=1$ en lugar de $uv=1$ las dos curvas en $\mathbb{R}^2$ son isomorfas, pero en la compactificación $S^1\times S^1$ obtenemos ahora una cuña de dos círculos en lugar de un solo círculo. Esto se debe a que el cambio de coordenadas de $\mathbb{R}^2$ dado por $u_n=u-v$ , $v_n=u+v$ curva de toma $(u-v)(u+v)=1$ a $u_n v_n=1$ no se extiende a estas compactaciones. Esto nunca ocurre para $\mathbb{R}P^2$ Por ello, suele ser la opción preferida para la compactación.

Ahora sobre los números complejos, la ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ tiene un conjunto de soluciones en $\mathbb{C}^2$ que es un cilindro (también conocido como haz tangente de $S^1$ ). Entonces podemos compactar añadiendo un punto para "todo el infinito" y obtener un "toro pellizcado" con ambos infinitos del cilindro rellenados por ese único punto extra; o añadiendo un punto en el infinito a cada coordenada por separado -esto es lo que se hace en el artículo- y seguir obteniendo un "toro pellizcado", ya que $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ fuerzas $x$ para tener un módulo infinito en cuanto $y$ y viceversa, por lo que el único punto añadido es $(\infty, \infty)$ . Sin embargo, si compactamos a $\mathbb{C}P^2$ obtenemos dos puntos extra ( $[a:ib:0]$ y $[a:-ib:0]$ ), y la topología de una esfera. Esto es en cierto sentido la compactación "correcta" de la imagen, sentada dentro de la "compactación correcta" $\mathbb{C}P^2$ .

Por último, debemos señalar que no se trata tanto del dominio de $\cos$ sino más bien de la imagen de $z \to (a\cos z, b\sin z)$ en $\mathbb{C}^2$ y sus compactaciones. Si podemos ampliar $\cos z$ o $\sin z$ o $(\cos z, \sin z)$ a un mapa de alguna compactación de $\mathbb{C}$ a algún lugar depende de dónde (qué extensión/compactación de $\mathbb{C}$ o $\mathbb{C}^2$ ) al que nos dirigimos, y no tiene realmente tanto significado intrínseco.

Answer 2

Las funciones trigonométricas son funciones circulares. El coseno complejo es cos z = (e^(iz) + e^(-iz))/2 donde z = x + iy donde x e y son números reales y z es un número complejo. Supongamos que restringimos z de modo que el módulo z = 1 = módulo (x + iy). Por tanto, la imagen de z es el círculo unitario en el plano complejo. ¿Y si observamos el mapa X = (x, y)? Supongamos que X = (0, 0) corresponde a un origen. Entonces, aparentemente, la imagen cos(z) = cos(0) = 1. La esfera unitaria tiene radio = 1. Consideremos una rotación cualquiera del plano que elijamos llamar plano complejo que pase por un punto cualquiera que hayamos elegido llamar origen, es decir, X = (0, 0) con la propiedad módulo z = 1. De nuevo, este es el círculo unitario en ese plano complejo en particular. Cuando el módulo z = r para cualquier r no negativo, tenemos un plano complejo completo que puede ser mapeado en la esfera unitaria. Hasta aquí los preliminares. Quizás tenga más sentido escribir z = (e^x)(e^(iy) que tiene módulo r = e^x. Entonces date cuenta de que cos(z) tiene módulo 1 y es entero ya que (x,y) abarcan todos los reales. Recordando que la preimagen de cos(z) era z = x + iy, el dominio de cos(z) se puede mapear en la esfera unitaria comenzando en z, dibujando una secante al polo norte de la esfera unitaria centrada en (0, 0, 1) y llamando al punto P en la esfera unitaria donde la secante perfora por primera vez la esfera unitaria comenzando en z en el plano complejo y repitiendo esto para cada z en el plano complejo. El resultado es que los puntos P trazan la esfera unitaria, de modo que por proyección estereográfica inversa, tenemos la esfera unitaria de todos esos puntos P como nuestro dominio para cos(z). Para r finito = e^x, se omite el polo norte del mapeo de la esfera unitaria. Ahora dejemos que x se acerque al infinito, para que r = e^x se acerque al infinito. Identifica el polo norte de la esfera unitaria con el punto en el infinito, y creo que el mapeo estereográfico para z = (e^x)(e^iy) se convierte en onto para todos los x e y reales.