Gauss-manin conexión para curvas

Question

Que $\pi: X \to Y$ sea un morfismo finito entre curvas proyectivas lisas sobre los números complejos. Me gustaría conoce:

(1) lo que parece la conexión Manin de Gauss respecto a $\pi$ (es decir, la conexión correspondiente para el sistema local $\pi_\ast\mathbb{C}$ $Y$ menos los puntos de ramificación)

(2) bueno el teorema de Riemann-Roch Grothendieck informar cuando se aplica a $\pi$

¡Gracias!

Answer 1

Voy a tomar una puñalada en estos:

(1) Así, el de Gauss-Manin conexión es plana, y en todos los planos de conexiones parecen iguales en locales de holomorphic como banalizaciones. Una mejor pregunta es ¿cuál de las secciones paralelas del sistema local de aspecto. Aquí un ejemplo sencillo podría ser útil.

Deje $\pi : \mathbb C \to \mathbb C$$z \mapsto z^2$. Esta es una finito de morfismos, de la es cierto que no proyectiva afín avión a sí mismo, pero puede ser extendido a un número finito de morfismos en la línea proyectiva que se ramifica en $0$ $\infty$ solamente. El único no trivial del sistema local asociada a este morfismos, fuera de los puntos de ramificación, es una copia si dos disjuntas $\mathbb C$, uno para cada punto en la preimagen de un punto dado. Una sección paralela de los asociados paquete de más de $U \subset \mathbb C$ corresponde entonces a la elección de una raíz cuadrada de $z$$U$, y si $U$ está conectado esta elección de la raíz cuadrada no "saltar" entre las ramas, lo que correspondería a saltar de un punto en una preimagen de $\pi$ a otro.

El caso de un general finito de morfismos tal vez debería ser considerado como similar a esta; secciones paralelas al vector paquete asociado al sistema local corresponden a recoger una rama de soluciones locales $x$ $\pi(x) = y$ al $y$ varía en $Y$.

(2) no he trabajado fuera de los detalles, pero estoy dispuesto a apostar dinero que obtenemos una extrema exageración prueba de la de Riemann-Hurwitz fórmula mediante la aplicación de Grothendieck-Riemann-Roch a lo finito de morfismos $\pi : X \to Y$.