Los límites de $f(x)=x-x$

Question

Es obvio que $f(x)=x-x=0$. Pero, ¿qué pasa aquí?

Tiene una función de $f(x)=x-x$ y usted tiene que calcular los límites al $x\to \infty$

Esto va a ser como este: $$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty - \infty$$ That's an indetermination, and you have to multiply both sides with the conjugate of $f(x)$, which is equal to $x+x$.

\begin{align} f(x)&=x-x\\ &=\frac{(x-x)(x+x)}{x+x}\\ &=\frac{x^2-x^2}{x+x} \end{align}

Si hacemos los límites de ahora, la respuesta va a ser: $$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\frac{\infty - \infty}{\infty+\infty}$$, Que es otro tipo de indeterminación(creo).

¿Qué sucede aquí?Puede haber un error de multiplicar con su conjugado en ambos lados? Hay otro caso como este? O estoy totalmente equivocado?

Answer 1

$\lim\limits_{x\to\infty}(x-x)$ no es indeterminado: desde $x-x=0$ todos los $x$, es simplemente $\lim\limits_{x\to\infty}0=0$. Ciertamente, usted no tiene que multiplicar por $\frac{x+x}{x+x}$, ya que hay una muy simple, directo a la hora de evaluar el límite. Si usted hace esto unnecessarly multiplicación para obtener $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x^2}{x+x}\;,$$ you get a second chance to realize that you can simplify the expression: $\frac{x^2-x^2}{x+x}$ is identically $0$ for $x\ne 0$, and the singularity at $x=0$ is irrelevant to the limit as $x\to\infty$, so once again you have simply $\lim\limits_{x\to\infty}0=0$.

Answer 2

Nunca tratar el símbolo $\infty$ como un número de sujetos a las reglas habituales de la aritmética. En la mayoría de límite de preguntas que se le pide, que el procedimiento va a dar la respuesta equivocada. Esto puede ser útil, en una pregunta acerca de la $\lim_{x\to \infty}f(x)$, a imaginar que $x$ es muy grande específicos , como $10^{40}$. Está claro que si $x=10^{40}$,$x-x=0$.

Answer 3

El problema con indeterminada formas es la de medir las cosas que enfoque el mismo límite, pero posiblemente a diferentes velocidades, lo que interesa es el límite de la diferencia.

Esta es la razón por la $\lim 2n-n=\infty-\infty$ es infinito, porque evaluamos el límite de la diferencia, no la diferencia de los límites.

Por otro lado, $f(x)=x-x$ es constantemente cero, la diferencia es constante y por lo tanto el límite es constante también, de manera similar $g(x)=\frac{x}{2x}$ tiene una relación constante de $\frac12$ cuando se aproxima a infinito, y se aplica la misma lógica.

Answer 4

El punto clave que está en juego aquí es que los límites NO son lineales, cuando no existan (o infinito). En otras palabras, $\lim_{x\rightarrow\infty} (x-x)$ NO es igual a $\lim_{x\rightarrow\infty}x-\lim_{x\rightarrow\infty}x$, mientras que el $\lim_{x\rightarrow\infty}(1/x-1/x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(1/x)-\lim_{x\rightarrow\infty}(1/x)=0-0=0$ es válido, ya que los límites individuales existen y son finitos. En particular, es extremadamente peligroso incluso hipotéticamente razón por la que $\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty-\infty$ no sólo porque la derecha no tiene ningún sentido, sino también porque este máscaras de la sutil inferior fin de comportamiento que va en. Tomemos, por ejemplo, $\lim_{x\rightarrow\infty} (1+x-x)$ y erróneamente a la conclusión de que es 0 por el pensamiento de $\lim_{x\rightarrow\infty}(1+x)=\infty$$\lim_{x\rightarrow}(-x)=-\infty$, mientras que la respuesta correcta es simplemente 1. Yo te animo sinceramente a que suelte esta handwavy conectar de $\infty$ dentro de los límites y el uso de más a tierra de las técnicas de la razón (al menos hasta que se sienta cómodo con las reglas en el trabajo aquí).

Answer 5

La mejor manera de hacer de los límites es mediante la simplificación desde el principio, así que sólo tienes que hacer esto: \begin{align}f(x)&=x-x\\&=0\end{align}Con esto, usted sabe que cualquiera que sea el valor de $x$ es, $f(x)$ va a ser $0$.