Conjunto de medida de Lebesgue cero de cardinalidad $\mathfrak c$

Question

1. Supongamos que $A\subset\mathbb R$ es un conjunto de medida de Lebesgue cero. Debe $\mathbb R\setminus A$ tiene cardinalidad $\mathfrak c$ ?
2. Si es así, ¿existe otro conjunto de medida de Lebesgue cero $B$ de cardinalidad $\mathfrak c$ tal que $A\cap B=\emptyset$ ?

Answer 1

Para el 1., observe que ${\bf R}\setminus A$ tiene medida positiva, por lo que por regularidad de la medida de Lebesgue contiene una compacta $K$ conjunto de medida positiva. Pero los conjuntos compactos en los espacios polacos son contables o de cardinalidad $\mathfrak c$ .

Para 2., observe que el conjunto cerrado $K$ mencionada anteriormente tiene una medida positiva y puede ser elegida para ser perfecta. Entonces se puede realizar una construcción similar a la del conjunto de Cantor sobre $K$ para obtener un subconjunto de $K$ de cardinalidad $\mathfrak c$ El conjunto de Cantor es homeomorfo, con medida cero (sólo hay que asegurarse de que en cada paso se deja sólo una parte lo suficientemente pequeña, en cuanto a la medida).