¿Por qué es una matriz de $n \times n$de % que $n$ valores propios?

Question

Esto es una pregunta tonta, pero no puedo encontrar un buen argumento de por qué una matriz de $n \times n$ tendrá $n$ valores propios (no necesariamente distintos).

En mi álgebra lineal clase que el profesor da por sentado el número de valores propios es igual a la dimensión de la matriz. Por ejemplo, dado eigs($A$) = $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, escribirá una matriz dimensional de $5 \times 5$ $A$

¿Cómo podemos mostrar este hecho trivial?

Answer 1

Una $n \times n$ matriz tiene un polinomio característico de la orden de $n$. Si la matrice los elementos son de una algebraicamente cerrado de campo, entonces eso significa que debe haber al menos una raíz. Entonces podemos factor de la raíz y el resto de factor también debe tener al menos una raíz et.c. Por lo tanto, no debe ser $n$ raíces. El polinomio característico tiene los autovalores como sus raíces.

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Por ejemplo, los números reales $\mathbb{R}$ no son algebraicamente cerrado, podemos ver esto si nos fijamos en la ecuación polinómica $x^2+1 = 0$ que no tiene raíces reales. Si permitimos $x$ a ser complejo, sin embargo, los dos famosos raíces $x = \pm i$.

Answer 2

Positiva si usted está tomando matrices sobre los números complejos, aunque no necesariamente distintas.

Sobre los números verdaderos a veces la respuesta es un número natural $k$ entre $0$y $n$