Si $\Omega$ es un cubo en $\mathbb{R}^n$ y $f\in C^1(\overline\Omega)$. Por reflexión se puede extender esta función a todos los $\mathbb{R}^n$ y el extenstion de $C^1(\mathbb{R}^n)$. Si $\Omega$ es un polígono, tiene límite de $C^1$ por trozos (bordes y corneres no son salvajes) o es un conjunto convexo esto parece posible. ¿Puede ampliarse a dominios Lipschitz arbitrarios?
¿Hay ejemplos y o referencias para estos casos (a partir de polígonos)?
Como George Lowther señalado, dicha extensión es posible para cualquier quasiconvex dominios (en particular, para cualquier dominio de Lipschitz). Este es el principal resultado en un corto papel de Whitney de 1934:
Whitney, Hassler. Funciones diferenciables en los límites de las regiones. Ann. de Matemáticas. (2) 35 (1934), no. 3, 482-485.
La propiedad P es lo que ahora llamamos quasiconvexity:
Este resultado, y muchos de los desarrollos posteriores, se presentan en la sección 2.5 del libro
Brudnyi, Alexander; Brudnyi, Yuri. Métodos de análisis geométrico en extensión y seguimiento de los problemas. Volumen 1. Monografías en Matemáticas, 102. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basilea, 2012.
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