Principal Ultrafilters en números naturales

Question

Sea $E$ un conjunto contable de subconjuntos de $\mathbb{N} $. Muestran que el filtro generado por $E$ no puede ser un ultrafiltro no principales. Mi idea de solución es:

Que $D$ sea el filtro generado por $E$. $D$ no es principal $\iff$ para todos $x\in\mathbb{N}$ $\{x\}\notin D $ $\iff \mathbb{N} \setminus \{x\}\in D$ si y sólo si para todos $m\in\mathbb{N} $ y los $X_1,\dots,X_m\in E$ $X_1\bigcap\dots\bigcap X_m\subset \mathbb{N} \setminus \{x\}$. Me gustaría concluir que $E$ no es contable. ¿Es eso posible?

Answer 1

Puede echar un vistazo a mayores de preguntas relacionadas, como:

• todos los no-director de ultrafilter contiene un cofinite filtro.
• Es un ultrafilter libre si y sólo si contiene el cofinite filtro?
• Ultrafilters que contiene un director de filtro en MathOverflow

Está demostrado que hay un ultrafilter es libre si y sólo si contiene el filtro que consiste en todos los cofinite conjuntos. (Este filtro es a menudo llamado Fréchet filtro o cofinite filtro.)

Lo que pedimos es un poco diferente. Pero pensando en cofinite filtro puede darte un poco de inspiración para la solución de su problema. Voy a intentar dar una prueba a continuación.

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Voy a utilizar $\mathcal D$, $\mathcal E$, $\mathcal F$ para los sistemas de subconjuntos de a $\mathbb N$, sólo para distinguirlos notationally de los subconjuntos de a $\mathbb N$.

Deje $\mathcal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ ser una contables conjunto. Queremos describir el filtro de $\mathcal F$ generado por $\mathcal E$.

Para hacer las cosas un poco más fácil, vamos a definir $$D_k= \bigcap_{i=1}^k E_i$$ y $$\mathcal D=\{D_1,D_2,\dots\}$$

Los sistemas de $\mathcal D$ $\mathcal E$ generar el mismo filtro, pero la situación es un poco más simple ahora, ya que tiene un no-aumento de la secuencia de conjuntos.

W. l.o.g. podemos suponer que $D_{i+1} \subsetneq D_i$, es decir, esta secuencia es estrictamente decreciente.

El filtro generado por este conjunto es $$\mathcal F=\{A\subseteq \mathbb N; (\exists k\in\mathbb N) A\supseteq D_k\}.$$

Si $\bigcap\limits_{k=1}^\infty D_k\ne\emptyset$,$\bigcap\mathcal F\ne\emptyset$, y el filtro de $\mathcal F$ no es libre.

Así queda por considerar el caso de que $\bigcap\limits_{k=1}^\infty D_k=\emptyset$. Vamos a mostrar que, en tal caso, $\mathcal F$ no es un ultrafilter.

Para cada una de las $k$ escojamos $a_k \in D_k \setminus D_{k+1}$. Pongamos $$A=\{a_{2k}; k\in\mathbb N\}.$$

Ni $A$ ni el complemento del conjunto a $A$ pertenecen a $\mathcal F$. Por lo tanto $\mathcal F$ no es un ultrafilter.

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En este contexto, puede ser interesante mencionar ultrafilter número $\mathfrak u$ que se define como el menor cardinalidad de una base de una libre ultrafilter. Se puede demostrar que $\aleph_1\le\mathfrak u=\mathfrak c$. Pero es relativamente coherente que $\mathfrak u < \mathfrak c$.

Answer 2

Mientras escribía esta respuesta, he encontrado que @Martin Sleziak dio una respuesta en primer lugar con la misma idea que en aquí (incluso con algunos detalles idénticos). Os dejo mi respuesta para mi récord personal, pero si la gente piensa que yo debería borrar, voy.

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Deje $\mathcal{D}$ ser el filtro generado por $E$.

Caso 1. Si $\cap E \neq \varnothing$, $\mathcal{D}$ es una de las principales filtro.

Caso 2. Suponga que $\cap E = \varnothing$. Enumerar $E$ $E = \{ X_1, X_2, \cdots \}$ y definen $(X'_n)$ como la secuencia obtenida a partir de la lista

$$ X_1, \quad X_1 \cap X_2, \quad X_1 \cap X_2 \cap X_3, \quad \cdots $$

mediante la eliminación de posibles repeticiones. Es sencillo comprobar que $(X'_n)$ es una disminución de la secuencia de conjuntos infinitos. Por último, defina $Y$ como sigue:

$$ Y = (X'_1 \setminus X'_2) \cup (X'_3 \setminus X'_4) \cup \cdots. $$

Podemos comprobar que el$Y \notin \mathcal{D}$$\Bbb{N}\setminus Y \notin \mathcal{D}$. De hecho,

• Suponga que $Y \in \mathcal{D}$. Entonces existe $n$ tal que $X'_{2n} \subseteq Y$. Pero esto es imposible, ya que $X'_{2n}\setminus X'_{2n+1} \subset \Bbb{N}\setminus Y$.
• Del mismo modo, se asume que el $\Bbb{N}\setminus Y \in \mathcal{D}$. A continuación, $X'_{2n-1} \subseteq \Bbb{N}\setminus Y$ algunos $n$ pero esta vez es imposible, ya que $X'_{2n-1} \setminus X'_{2n} \subset Y$.