Estabilización de todos los términos pares/impares de la secuencia de centralizadores iterados.

Question

Esto está relacionado con mi pregunta anterior, ver aquí.

Fijemos un anillo $B$. Dado un subanillo $A \subset B$, definimos $$A^! := \{b \in B : ab = ba,\text{ }\forall\,a \in A\},$$ el centralizador de $A$ en $B$. Este es un subanillo de $A$, por lo que podemos iterar $A^{!!} := (A^{!})^!,\text{ }A^{!!!} := (A^{!!})^!$, etc.

¿Cuál es la manera más fácil de ver que hay una estabilización de todos los términos pares, respectivamente impares, de la secuencia de centralizadores iterados, por ejemplo, tenemos: $A^{!!!} = A^!$ y $A^{!!!!} = A^{!!}$?

Answer 1

Lo que estás preguntando, básicamente, es por qué $A^!=A^{!!!}$, porque después de eso simplemente aplicas repetidamente el operador $!$ a dos conjuntos iguales, y has demostrado que $n$ aplicaciones de $!$ es lo mismo que $n+2$ aplicaciones para $n\geq 1.

Creo que en otro lugar aprendiste que $X\subseteq X^{!!}$ para cualquier conjunto $A$. Aplica este hecho a $A^!.

Por otro lado, este operador es inverso al orden en el sentido de que $X\subseteq Y$ implica $Y^!\subseteq X^!$. Aplica esto a $A\subseteq A^{!!}$.