Estoy en el séptimo grado y mi maestro no era capaz de explicar esto a mí.
¿por qué es $\frac{1}{a+b}$ no es igual a $\frac 1b +\frac 1a$?
Lo siento si esto es obvio.
EDIT: gracias a todos los que respondieron. Creo entender fracciones mucho más ahora. fue bueno que a la vez intuitiva y algebraicas respuestas... que realmente clavado el punto de inicio para mí
Comprueba por ti mismo por probar algunos de los números! Por ejemplo, si $a= b =1$,$1/(a+b) = 1/2$, mientras que $1/a + 1/b = 2$. Desde $1/2 \neq 2$, $1/(a+b) \neq 1/a + 1/b$ en este caso.
Así que, claramente, $a/(b+c) \neq a/b + a/c$ en general. Por qué, por otro lado, no $(a+b)/c = a/c + b/c$? La respuesta es que esto en realidad es sólo el uso de la costumbre propiedad distributiva! Puedo hacer el siguiente algebraicas trucos: $$\frac{a+b}{c} = (a+b) \frac{1}{c} = a \frac{1}{c} + b \frac{1}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$$ So really, all we've done here is distributed the factor of $1/c$ over the sum $(a+b)$.
La suma de $(b+c)$ $a/(b+c)$ no está siendo multiplicada por nada en esta expresión; de hecho, está dividido por! Así que tratando de distribuir la división por encima de esta suma sería de una nueva propiedad distributiva, y como hemos observado anteriormente, esta propiedad no.
Como usted sabe, álgebra, aquí es una prueba de que puede satisfacer. Considere la posibilidad de: $$\frac{1}{a+b} \stackrel{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$
Si son iguales, entonces la multiplicación de ellos por lo mismo debe mantener la igualdad. Del mismo modo, si son desiguales, entonces multiplicándola por la misma cosa (excepto el 0) debe mantenerlos desigual.
Ahora, se multiplican ambos lados por $ab$ para obtener $$\frac{ab}{a+b} \stackrel{?}{=} \frac{ab}{a} + \frac{ab}{b}$$ $$\frac{ab}{a+b} \stackrel{?}{=} b + a$$
Ahora, se multiplican ambos lados por $a + b$ para obtener $$\frac{ab(a+b)}{a+b} \stackrel{?}{=} (b + a)(a+b)$$ $$ab \stackrel{?}{=} (a + b)^2$$
Usted ya sabe lo que el lado derecho es igual a: es $a^2 + 2ab + b^2$: $$ab \stackrel{?}{=} a^2 + 2ab + b^2$$
Ahora resta $ab$ desde ambos lados: $$0 \stackrel{?}{=} a^2 + ab + b^2$$
Su reclamo era que la igualdad se cumple para todos los $a$ $b$ . (Es decir, $a^2 + ab + b^2 = 0$ todos los $a$ $b$.)
Ya que esto es obviamente falso (que tenía completa libertad para elegir $a$$b$), su reclamo no puede ser cierto. ¿Esto tiene sentido?
Por qué tendría que ser igual?
Creo que de $1/3$ o $1/4$ como una sola tercera o una cuarta. (Yo usaría $1/c$ aquí, pero, no hay un conveniente palabra para ir con ella.) Tenemos $a/3+b/3=(a+b)/3$, ya que el $a$ tercios más $b$ de los tercios es $a+b$ tercios. Sin embargo, no tenemos $1/3+1/4=1/7$; una séptima es menor que un tercio o un cuarto.
Deje $p$ $q$ ser enteros positivos (números enteros). En la fracción $\frac{p}{q}$, los números de $p$ $q$ juegan papeles distintos:
$q$ mide el "tamaño" de (o se les denomina) $\frac{1}{q}$. Intuitivamente, $\frac{1}{q}$ es la cantidad que se obtiene dividiendo una unidad en $q$ a partes iguales. Por ejemplo, $\frac{1}{2}$ representa el resultado de dividir $1$ en dos porciones iguales; $\frac{1}{3}$ resulta de dividir $1$ en tres partes iguales; y así sucesivamente. A veces incluso podemos leer "$\frac{1}{q}$ "" $1$ dividido por $q$", como en "una unidad dividida en $q$ a partes iguales".
$p$ le dice "¿cuántas porciones de tamaño de $\frac{1}{q}$ maquillaje $\frac{p}{q}$. Es decir, $p$ numerates la fracción.
Una norma como $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$ mantiene debido a que dos de cierta cantidad (en este caso $\frac{1}{7}$) que se agrega a tres de esa misma cantidad da cinco unidades de la cantidad.
Una norma como $\frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ mantiene por una razón un poco complicado de decir en palabras: Si catorce unidades de cierta cantidad hacer una unidad y siete unidades de otra cantidad hacer una unidad, luego de cuatro unidades de la primera cantidad igual a dos unidades de la segunda cantidad. Aquí, tenemos dos veces la cantidad de porciones de una cantidad a la mitad.
Yogi Berra se le preguntó una vez, "¿quieres tu pizza cortada en seis u ocho?" Él respondió: "Mejor lo hacen seis. Nunca pude comer ocho trozos de pizza." Ahora usted puede echar a perder la broma de explicar matemáticamente: $\frac{6}{6} = \frac{8}{8}$.
Finalmente llegamos a la pregunta: ¿por Qué es $\frac{1}{a + b}$ no es igual a $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$? Como user2357112 notas, una "mejor" primera pregunta podría ser el escéptico, "¿por Qué son ellos (o por qué debería ser) iguales?" Los párrafos anteriores explicar por qué, si $p$, $p'$, $q$, y $k$ son enteros positivos, entonces $$ \frac{p}{q} + \frac{p}{q} = \frac{p + p'}{q},\qquad \frac{pk}{kq} = \frac{p}{q}. $$ Cada regla (o "teorema") viene a contar, posiblemente a contar un número diferente de unidades de diferente tamaño.
Ahora, la fracción $\frac{1}{a + b}$ representa una cantidad, $(a + b)$ partes de una unidad.
La expresión $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ representa una aglomeración de dos cantidades: la cantidad, $a$ partes de una unidad, y una cantidad, $b$ partes de una unidad.
Estos no representan la misma cantidad si $a$ $b$ son enteros positivos: El más grande es el denominador, el más pequeño de la denominada parte, porque un mayor número de porciones que se necesitan para hacer una unidad (Yogi Berra del rebanadas de pizza). En símbolos, podemos expresar el argumento como $$ \frac{1}{a + b} < \frac{1}{a} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. $$ Y como usted ha notado, $\frac{1}{a + b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ en los ejemplos. Es debido a que el denominador de las medidas de los tamaños de las porciones, mientras que la adición expresa la aglomeración de porciones de tamaño fijo.
Desde que hemos llegado a este momento: ¿Qué es $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ como una sola fracción? Si $a \neq b$, estamos "sumar manzanas y naranjas", es decir, tratando de aglomerado cantidades en diferentes sistemas de medición, como la adición de $2$ pulgadas a $4$ centímetros. Para continuar, tenemos que expresar cada cantidad en términos de un denominador común. Una forma de hacerlo es a multiplica y luego contar el número total de partes: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a + b}{ab}. $$
Por un razonamiento similar, se puede justificar el general además de la fórmula: $$ \frac{p}{q} + \frac{p}{q'} = \frac{pq' + p q}{q'}. $$
Tenemos
$$\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{a}{c}$$
Pero en el otro lado
$$\frac{a}{b+c} \not= \frac{a}{b} + \frac{a}{c}$$
¿Por qué es eso?
Considere la posibilidad de que $x/y$ también puede ser escrito como $x \cdot (y^{-1})$. Como usted probablemente sabe,
$$(a+b)^2 \not= a^2 + b^2$$
Y, de hecho, en general,
$$(a+b)^n \not= a^n + b^n$$
Simplemente no funciona así. Teniendo en cuenta este hecho, no es demasiado sorprendente que
$$(a+b)^{-1} \not= a^{-1} + b^{-1}$$
En otras palabras,
$$\frac1{a+b} \not= \frac1a + \frac1b$$
De nuevo, $x/y = x \cdot (y^{-1})$. El denominador es elevado a la potencia $-1$. Pero el numerador no está, así que usted puede añadir y restar con el numerador. Pero no en el denominador.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
