Subespacios cerrados y complementados de$l^1(X)$ cuando$X$ es incontable

Question

... son todos isomorfo a $l^1$ en algún otro conjunto de índices. Al menos, que mucho me "saber" de la 2 ª mano fuentes, ya que el original de la prueba es, al parecer, en un papel de Köthe a partir de la década de 1930 década de 1960 (en alemán) que yo no puede conseguir el asimiento de haber tenido problemas para digerir. Ya que hay espacio de Banach especialistas en la lectura de MO, me preguntaba si alguien podría boceto de cómo la prueba difiere del contable caso, o punto a una más reciente texto, preferentemente en inglés o francés, que da la prueba? Espero que esto sea un bien definido pregunta para el MO, ya que yo no soy de cebo con algo donde yo sé la respuesta.

(Algunos antecedentes para otros lectores: el resultado análogo al $X$ es countably infinito de la siguiente manera a partir de la combinación de dos pasos: primero se utiliza un bloque de base argumento para demostrar que un sistema cerrado, el subespacio complementado $V$ dentro $l^1(\bf N)$ debe ser finito-dimensional, o contener un infinito-dimensional, cerrado subespacio complementado $W$ que es isomorfo a $\ell^1({\bf N})$. En el primer caso, $V$ es, obviamente, isomorfo a algunos finito-dimensional $\ell^1$. En el último caso, se aplica Pelczynski de descomposición. Mi impresión es que es el primer paso que podría resultar problemático si intento para $\ell^1(X)$ al $X$ es uncountably infinito, pero yo podría estar equivocado, y daría la bienvenida a correcciones.)

Answer 1

Bonita respuesta, Phil.

El caso de $Z=\ell_p(X)$, 1 < p < infinito, y $Z=c_0(X)$ $X$ innumerables son un poco más fácil porque si $T$ es un delimitada lineal operador de $Y$ a $Z$ y la densidad carácter de $Y$ es menor que $|X|$, $T$ no puede ser de uno a uno. Así que si $Y$ es un subespacio de $Z$ con densidad de caracteres $|X|$, un máximo conjunto de disjointly admite vectores unitarios en $Y$ tiene cardinalidad $|X|$ (use el hecho obvio de que un subespacio $W$ $Z$ está contenido en $\ell_p(Q)$ [o $c_0(Q)$] con $|Q|$ igual a la densidad carácter de $W$). Así que cada subespacio de $Z$ con densidad de caracteres $|X|$ tiene una norma se complementa el subespacio que es isométrico a $Z$. Esto y un segundo uso de la `obviedad" da el resultado deseado.

Answer 2

Una prueba en inglés (modulo algunos de los detalles que implica la Pelczynski descomposición método) puede encontrarse en el artículo "En relativamente distinto a las familias de medidas" (Studia Matemáticas, 37, pág.28-29) por Haskell Rosenthal.

Sobre el resultado análogo para $\ell_p (X)$ ($p\in (1,\infty)$) y $c_0 (X)$, me parece recordar leído en alguna parte que fue resuelto por Joram Lindenstrauss, pero ahora me parece que no puede encontrar ninguna referencia a ella. Me parece que creo que vi algo al respecto en el Apéndice a la traducción al inglés de Banach del libro en el lineal de las operaciones (el apéndice es por Bessaga y Pelczynski), pero me tomaría un tiempo para tamizar a través de él para encontrar, y de la familia la cena está servida hasta dentro de muy poco. Me pregunto de todos modos, ¿cuánto se puede extraer de Mateo Daw' de la clasificación de la cerrada, de dos caras ideales en $\mathcal{B}(\ell_p (X))$, el álgebra de Banach de todos los delimitada lineal de operadores en $\ell_p (X)$? El papel relevante que puede ser descargado en http://www.amsta.leeds.ac.uk/~mdaws/pubs/ideales.pdf . El papel de Las celosías cerradas ideales en el álgebra de Banach operadores en un determinado doble espacio de Banach' por Laustsen, Schlumprecht y Zsak ilustra cómo la clasificación de la complementado subespacios de un espacio de Banach $E$ puede seguir a partir de la clasificación de cerrado, de dos caras ideales en $\mathcal{B}(E)$ si todos los cerrados, de dos caras, la de los ideales generados por las proyecciones sobre subespacios complementados tener ciertas propiedades atractivas. Cuánto de esto se puede hacer utilizando Matt resultados no he comprobado, pero creo que al menos algunos resultados parciales podrían ser obtenidos. Matt podría comentar esto por si le pasa, o si nadie más lo hace podría tratar de mirar en él en el día siguiente o así y editar esta respuesta en consecuencia.

El resultado análogo para $\ell_\infty (X)$ no se cumple para innumerables $X$ en general. De hecho, todos los $\ell_\infty (X)$ es el doble de $\ell_1 (X)$, cada espacio de Banach incrusta isomorphically en algunos $\ell_\infty (X)$, pero hay inyectiva los espacios de Banach que no son isomorfos a doble espacio de Banach; el primer ejemplo parece haber sido encontrado por Haskell Rosenthal en su papel de 'On inyectiva espacios de Banach y espacios de $L^\infty (\mu)$ para finito de medida $\mu$' (Acta Mathematica, 124, Corolario 4.4), y la existencia de un espacio que ofrece la deseada contraejemplo.