Para$p \in [1,2]$, cómo se muestra$\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\frac{|1+x|^p-1-px}{|x|^p}\leq 2^{2-p}?$

Question

La siguiente pregunta surgió de la Teoría de U-estadísticas de Korolëiìuk :

Para$p\in[1,2]$, ¿cómo podemos mostrar que$$\sup_{x\in\mathbb{R}}\frac{|1+x|^p-1-px}{|x|^p}\leq 2^{2-p}?$ $

---

Mis intentos: He intentado algunos reordenamientos como$|1+x|^p\leq 1+px+2^{2-p}|x|^p$ y veo alguna relación por manipulaciones pero atascado en algún momento.

Answer 1

Para$|1+x|^p\leq 1+px+2^{2-p}|x|^p$, es trivial el "=" se mantiene cuando$x=0$ o$p=2$, excluyen estos casos, podemos discutir 3 casos diferentes:

1)$x>0$

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

$f(x)= 1+px+2^{2-p}x^p-(1+x)^p,f'(x)=p+p(2^{2-p}x^{p-1}-(1+x)^{p-1}),f"(x)=p(p-1)(2^{2-p}x^{p-2}-(1+x)^{p-2})$ So <1> es true$p(p-1)\ge0, f"(x)\ge0 \iff 2^{2-p}x^{p-2}-(1+x)^{p-2}\ge 0 \iff 2^{2-p}>(\dfrac{x}{1+x})^{2-p}$

2)$2-p>0,$

Let$\implies f'(x)>f'(0)=2^{2-p}p>0 \implies f(x)>f(0)=0$, la desigualdad se convierte en:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

$-1<x<0$ Para verificar$t=1+x, \implies 0<t<1$, sabemos que$t^p \le 1 +pt-p+2^{2-p}(1-t)^p ,g(t)=1 +pt-p+2^{2-p}(1-t)^p-t^p,g'(t)=p(1-2^{2-p}(1-t)^{p-1}-t^{p-1}),g"(t)=p(p-1)(2^{2-p}(1-t)^{p-2}-t^{p-2}) $ es el punto mínimo. Así que el punto máximo de$g(t)"=0 \to t= \dfrac{1}{3}$ está en$2-\dfrac{1-t}{t}$ o$g"(\dfrac{1}{3})$

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

3)$g'(t)$

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Es fácil verificar$t=0$ es el punto mínimo$t=1$

QED.