¿Son los grupos $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ ¿son isomorfas bajo adición?
¿Y cómo podría demostrarlo?
¿Qué pasa con $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}[i]$ ?
¿Son los grupos $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ ¿son isomorfas bajo adición?
¿Y cómo podría demostrarlo?
¿Qué pasa con $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}[i]$ ?
Los grupos en cuestión son todos grupos aditivos de campos de característica cero. En general, el grupo aditivo $(F,+)$ de un campo de característica cero es un grupo divisible de forma única para todos los enteros positivos $n$ el mapa $[n]: F \rightarrow F$ dado por $x \mapsto nx$ es un isomorfismo. De hecho, es un homomorfismo para cualquier grupo conmutativo y su inverso es $x \mapsto \left(\frac{1}{n}\right) x$ .
Afirmo que cualquier grupo conmutativo únicamente divisible $M$ admite la estructura de un $\mathbb{Q}$ -de una manera única. Para cualquier número racional distinto de cero $\frac{p}{q}$ y cualquier $x \in M$ debemos definir $\frac{p}{q} x$ sea el único elemento $y$ de $M$ tal que $qy = px$ . Es fácil comprobar que funciona.
El único invariante de un espacio vectorial $V$ sobre cualquier campo $K$ es su dimensión. Además, cuando la cardinalidad de $V$ es mayor que la cardinalidad de $K$ la dimensión de $V$ es igual a la cardinalidad de $V$ . Así:
$\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ son ambos $\mathbb{Q}$ -de cardinalidad continua; puesto que $\mathbb{Q}$ es contable, deben tener dimensión continua. Por lo tanto sus grupos aditivos son isomorfos.
$\mathbb{Q}$ es unidimensional $\mathbb{Q}$ -mientras que $\mathbb{Q}[i]$ es una bidimensional $\mathbb{Q}$ -por lo que sus grupos aditivos no son isomorfos. (Obsérvese que la dimensión de un $\mathbb{Q}$ -es la cardinalidad máxima de un espacio vectorial. $\mathbb{Z}$ -conjunto linealmente independiente. Esto leas a la respuesta de GEdgar).
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