15 votos

¿Son los grupos $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ ¿isomorfo?

¿Son los grupos $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ ¿son isomorfas bajo adición?

¿Y cómo podría demostrarlo?

¿Qué pasa con $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}[i]$ ?

11voto

Bryan Roth Puntos 3592

Los grupos en cuestión son todos grupos aditivos de campos de característica cero. En general, el grupo aditivo $(F,+)$ de un campo de característica cero es un grupo divisible de forma única para todos los enteros positivos $n$ el mapa $[n]: F \rightarrow F$ dado por $x \mapsto nx$ es un isomorfismo. De hecho, es un homomorfismo para cualquier grupo conmutativo y su inverso es $x \mapsto \left(\frac{1}{n}\right) x$ .

Afirmo que cualquier grupo conmutativo únicamente divisible $M$ admite la estructura de un $\mathbb{Q}$ -de una manera única. Para cualquier número racional distinto de cero $\frac{p}{q}$ y cualquier $x \in M$ debemos definir $\frac{p}{q} x$ sea el único elemento $y$ de $M$ tal que $qy = px$ . Es fácil comprobar que funciona.

El único invariante de un espacio vectorial $V$ sobre cualquier campo $K$ es su dimensión. Además, cuando la cardinalidad de $V$ es mayor que la cardinalidad de $K$ la dimensión de $V$ es igual a la cardinalidad de $V$ . Así:

$\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ son ambos $\mathbb{Q}$ -de cardinalidad continua; puesto que $\mathbb{Q}$ es contable, deben tener dimensión continua. Por lo tanto sus grupos aditivos son isomorfos.

$\mathbb{Q}$ es unidimensional $\mathbb{Q}$ -mientras que $\mathbb{Q}[i]$ es una bidimensional $\mathbb{Q}$ -por lo que sus grupos aditivos no son isomorfos. (Obsérvese que la dimensión de un $\mathbb{Q}$ -es la cardinalidad máxima de un espacio vectorial. $\mathbb{Z}$ -conjunto linealmente independiente. Esto leas a la respuesta de GEdgar).

9voto

Anthony Cramp Puntos 126

$\mathbb Q$ y $\mathbb Q[i]$ no son isomorfos como grupos aditivos. Dos elementos cualesquiera de $\mathbb Q$ tienen un "divisor común" ...

6voto

Johannes Puntos 141

De hecho, puede también demostrar que : $$\frac{\mathbb C^+}{\mathbb R^+}\cong\mathbb R^+$$ estableciendo el siguiente homomorfismo suryectivo: $$f:\mathbb C^+\to\mathbb R^+,~~~(a+ib)\to a$$

5voto

Jeff Leonard Puntos 258

Sí, son isomorfos como grupos aditivos.

De hecho, son isomorfos como espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ ya que tienen la misma dimensión.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X