Evaluación de la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{2 \pi n}-1}$ utilizando la transformada inversa de Mellin

Question

Inspirado por esta respuesta Estoy tratando de mostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{2 \pi n}-1} = \frac{1}{24} - \frac{1}{8 \pi}$$ utilizando la transformada inversa de Mellin.

Pero la respuesta que recibo es el doble de lo que debería ser, y no entiendo por qué.

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EDITAR:

Con la ayuda de Marko Riedel, corregí el error en mi evaluación.

Desde $$ \left\{ \mathcal{M} \ \frac{x}{e^{2\pi x}-1} \right\}(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s}}{e^{2 \pi x}-1} \, dx = (2\pi)^{-(s+1)}\Gamma(s+1)\zeta(s+1) $$ para $\operatorname{Re}(s) >1$ ,

tenemos $$ \frac{x}{e^{2\pi x}-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}(2\pi)^{-(s+1)}\Gamma(s+1)\zeta(s+1) x^{-s} \, ds , $$ donde $c >1$ .

Sustitución de $x$ con $n$ y sumando ambos lados, obtenemos $$ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{2\pi n}-1} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}(2\pi)^{-(s+1)}\Gamma(s+1)\zeta(s+1)\zeta(s)\, ds \\&= \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} f(s) \, ds. \end{align} $$

El integrando tiene polos simples en $s=-1, 0$ y $1$ .

El hecho de que $\left|\Gamma(s)\right|$ decae exponencialmente a $0$ como $\text{Im} (s) \to \pm \infty$ nos permite desplazar el contorno hacia la izquierda.

Originalmente desplacé el contorno hasta el infinito negativo.

Pero como Marko Riedel lo explica a continuación queremos desplazar el contorno hacia el eje imaginario ya que el integrando es impar allí.

En efecto, utilizando la ecuación funcional de la función zeta de Riemann, obtenemos $$ f(it) = \frac{it}{2 \pi} \sinh \left(\frac{\pi t }{2} \right) \operatorname{csch}(\pi t) \left|\zeta(1+it)\right|^{2}, \quad t \in \mathbb{R}.$$

Por lo tanto,

$$ \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} f(s) \, ds = 2 \pi i \ \text{Res}[f,1] + \pi i \ \text{Res}[f,0] ,$$

donde

$$ \begin{align} \text{Res}[f,0] &= \lim_{s \to 0} s (2 \pi)^{-(s+1)} \Gamma(s+1) \zeta(s+1) \zeta(s) \\ &= \lim_{s\to 0} s\zeta(s+1) (2\pi)^{-(s+1)}\Gamma(s+1)\zeta(s) \\ &= 1\left(\frac{1}{2 \pi} \right)(1)\left(- \frac{1}{2} \right) \\ &=-\frac{1}{4 \pi} \end{align} $$

y

$$ \begin{align} \text{Res}[f,1] &= \lim_{s \to 1} (s-1) (2 \pi)^{-(s+1)} \Gamma(s+1) \zeta(s+1) \zeta(s) \\ &= \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s) (2\pi)^{-(s+1)}\Gamma(s+1)\zeta(s+1) \\&= 1\left(\frac{1}{4 \pi^{2}}\right)(1)\left(\frac{\pi^{2}}{6}\right) \\ &=\frac{1}{24} . \end{align} $$

El resultado es el siguiente.

Answer 1

En respuesta a su consulta en el otro hilo -- no tengo tiempo para tipografiar esto adecuadamente, aquí hay algunos comentarios. El esfuerzo parece bueno y deberías seguir trabajando en él.

1. No extraigas ningún término de la función de transformación delante de la integral. Como habrás comprobado, estos vuelven a aparecer más adelante en el cálculo, reduciendo la legibilidad.

2. Ahora bien, esta es la parte importante: al evaluar las sumas armónicas se obtiene una expansión asintótica sobre el cero cuando se desplaza hacia la izquierda y sobre el infinito cuando se desplaza hacia la derecha. Así que no es de extrañar que no se obtenga el valor correcto -- la expansión no converge allí (en $x=1$ ).

3. Con $g(s)$ siendo la transformada de su suma tenemos $$ g(s) = \left( 2\,\pi \right) ^{-s-1}\Gamma \left( s+1 \right) \zeta \left( s+1 \right) \zeta \left( s \right).$$ Los residuos son $$\operatorname{Res}(g(s)/x^s; s=1) = \frac{1}{24x},$$ $$\operatorname{Res}(g(s)/x^s; s=0) = -\frac{1}{4\pi},$$ $$\operatorname{Res}(g(s)/x^s; s=-1) = \frac{x}{24}.$$ Ahora te sugiero que pases de $\Re(s)=3/2$ a $\Re(s)=0$ , haciendo una hendidura alrededor del polo en el cero haciendo un semicírculo de radio $\epsilon$ alrededor de dicho poste en $s=0.$ Esto sólo recoge la mitad del residuo, por lo que su resultado es $$\frac{1}{24\times 1} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4\pi} \right) = \frac{1}{24} - \frac{1}{8\pi}.$$ Todavía tiene que verificar que $g(s)$ es impar en el eje imaginario cuando $x=1$ simplificando con la ecuación funcional de la función Zeta de Riemann.

Eso es todo por ahora. Espero que no haya errores.

Answer 2

Hay otra pieza que falta (en respuesta a los comentarios) que hay que añadir aquí, y es la prueba de la afirmación de que $$\frac{1}{\pi^s}\Gamma(s)(s-1/4)\zeta(2s)$$ es impar y puramente imaginario en la línea $\Re(s) = 1/4.$ Esto se debe a una profunda conexión con la ecuación funcional de la función zeta de Riemman. Demostraremos que $$\frac{1}{\pi^s}\Gamma(s)\zeta(2s)$$ es uniforme y real cuando $\Re(s) = 1/4.$ A continuación, la reclamación inicial.

Tenemos desde el prueba de la ecuación funcional de la función zeta de Riemann que $$ \frac{1}{\pi^s}\Gamma(s)\zeta(2s) = -\frac{1}{2s(1-2s)} + \int_1^\infty (x^{s-1} + x^{-s-1/2}) \left(\sum_{q\ge 1} e^{-\pi q^2 x}\right)dx.$$ (El primer término de la integral aquí es una transformada de Mellin directa, mientras que el segundo requiere más trabajo).

Poniendo $s=1/4+it$ tenemos que $$ \frac{1}{\pi^s}\Gamma(s)\zeta(2s) = -\frac{4}{1+16t^2} + \int_1^\infty (x^{-3/4+it} + x^{-3/4-it}) \left(\sum_{q\ge 1} e^{-\pi q^2 x}\right)dx.$$ Pero claramente $$x^{it} + x^{-it} = \exp(it\log x) + \exp(-it\log x) = 2\cos(t\log x)$$ es un número real e incluso en $t$ como es el término fraccionario delante y el resultado sigue.