Probar$A: l_2 \to l_2$ es un operador limitado

Question

Consideremos el siguiente problema operador que actúe en $l_2$: $$ A(x_1,x_2,x_3,\ldots) ~\colon=~ \left(x_1,\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ldots\right) $$

Necesito mostrar que $A$ es un operador acotado, que es $||Ax|| \leq C~||x||$ para algunas constantes $C$ y todos los $x \in l_2$. En otras palabras, es necesario para demostrar la desigualdad $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{x_1+\ldots+x_n}{n} \right)^2} \leq C \sum_{n=1}^{\infty}{x_n^2} $$

He intentado usar el hecho de que $$ \frac{x_1+\ldots+x_n}{n} \leq \sqrt{\frac{x_1^2+\ldots+x_n^2}{n}} $$ pero no funciona, porque en ese caso tenemos $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{x_1+\ldots+x_n}{n} \right)^2} \leq \sum_{n=1}^{\infty}~{\frac{x_1^2+\ldots+x_n^2}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \cdots \right)x_n^2} $$ y los coeficientes de $x_n^2$ divergen.

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Gracias.

Answer 1

¿Qué tal si usas ese$$ (x_1+\ldots +x_n)^2 = \sum_i x_i^2 + \sum_{i,j} x_ix_j $ $ junto con el bien conocido$$ 2x_ix_j \leq x_i^2+x_j^2$ $ que proviene de la desigualdad de autoservicio$0 \leq (x_i-x_j)^2$. Esto proporcionará el límite (EDIT: No, no lo hará, ver los comentarios)$$ \frac{(x_1+\ldots +x_n)^2}{n^2} \leq 2\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n^2}$ $ then$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{(x_1+\ldots +x_n)^2}{n^2} \leq \sum_{n=1}^N \sum_{i=1}^n 2 \frac{x_i^2}{n^2} \leq \sum_{i=1}^N x_i^2 \big(2 \sum_{n=i}^N \frac{1}{n^2}\big) < 2 \zeta(2) \sum_{i=1}^N x_i^2 $ $

Answer 2

1. Se muestra que$\left|\sum_{j=1}^nx_j\right|\leq \left(\sum_{j=1}^nx_j^2\sqrt j\right)^{1/2}\left(\sum_{j=1}^n\frac 1{\sqrt j}\right)^{1/2}$, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz$\sum_j a_jb_j\leq \sqrt{\sum_ja_j}\sqrt{\sum_jb_j}$ a$a_j=x_j\sqrt j$ y$b_j=\frac 1{\sqrt j}$.
2. Tenemos
3. Utilizando la última desigualdad \begin{aligned} \frac 1{n^2}\left(\sum_{j=1}^nx_j\right)^2&\leq\frac 1{n^2}\sum_{j=1}^nx_j^2\sqrt j2\sqrt n\\ &=2n^{-3/2}\sum_{j=1}^nx_j^2\sqrt j, \end {aligned} so \begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}\left(\sum_{j=1}^nx_j\right)^2&\leq 2\sum_{1\leq j\leq n\leq +\infty}n^{-3/2}x_j^2\sqrt j\\ &=2\sum_{j=1}^{+\infty}\sum_{n=j}^{+\infty}n^{-3/2}x_j^2\sqrt j\\ &\leq 2\sum_{j=2}^{+\infty}\sum_{n=j}^{+\infty}\int_{n-1}^nt^{-3/2}dtx_j^2\sqrt j+2\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-3/2}x_1^2\\ &=2\sum_{j=2}^{+\infty}\sum_{n=j}^{+\infty}[-2t^{-1/2}]_{n-1}^nx_j^2\sqrt j+2\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-3/2}x_1^2\\ &=4\sum_{j=2}^{+\infty}\sum_{n=j}^{+\infty}((n-1)^{-1/2}-n^{-1/2})x_j^2\sqrt j+2\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-3/2}x_1^2\\ &=4\sum_{j=2}^N(j-1)^{-1/2}x_j^2\sqrt j+2x_1^2\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-3/2}\\ &\leq 2\max(2\sqrt 2,\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-3/2})||x||_2^2. \end {aligned}