Si

Question

El libro de texto que estoy leyendo menciona esta proposición:

Sea$X$ un conjunto y deje$Y = \{u \in X \mid u \notin u\}$. Entonces $Y \notin X$.

¿Cómo probaría eso?

Answer 1

Esta es la paradoja de Russell en una cáscara de nuez. La paradoja de Russell demostró que no puede haber un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Esta versión es una versión "localizada" donde nosotros sólo nos preocupamos de los elementos de $X$, y demuestra que siempre hay una colección que es no un elemento de $X$.

Si $Y\in X$ preguntarse es $Y\in Y$? Si es, entonces,$Y\notin Y$, por la definición de la propiedad de $Y$; si $Y\notin Y$$Y\in X$$Y\notin Y$, por lo que, de nuevo, por la definición de $Y$ tenemos que $Y\in Y$.

De cualquier manera tenemos una contradicción por lo que debe ser ese $Y\notin X$.

En la teoría de conjuntos como ZFC donde $\in$ está bien fundado y $\forall x.x\notin x$, en realidad tenemos que $Y=X$.