Cada nudo da lugar a un número de grafos planares de 4 regularidades - por proyecciones regulares en el plano - que sólo hay que enriquecer con una bandera por encima/por debajo de cada vértice para poder reconstruir el nudo a partir del gráfico.
Lo que me pregunto:
Pregunta 1: ¿Cómo puedo saber qué grafos planares de 4 regiones son posibles grafos de nudos (sin tener en cuenta la bandera)? ¿Cómo se caracterizan los grafos de nudos? Al igual que gráficos poliédricos se caracterizan por exactamente el Planar de 3 vértices conectados ¿Gráficos planos?
Una condición necesaria es que el grafo planar de 4 regiones tenga un Ciclo euleriano (que tiene en cualquier caso ) que visita cada vértice exactamente dos veces.
Pregunta 2: ¿Es suficiente esta condición?
[ Añadido : Sospecho que cada El ciclo euleriano de un grafo planar de 4 regiones tiene que visitar cada vértice exactamente dos veces, lo que significa que cada El grafo planar 4 regular cumple la condición necesaria. Esto implica que la pregunta 2 dice "¿Es cada ¿Gráfico planar 4 regular un gráfico de nudos?" Lo cual no quería preguntar, originalmente].
1 votos
En efecto, cada circuito euleriano de un grafo de cuatro regulares visita dos veces cada vértice. Cada paso por un vértice ocupa exactamente $2$ grado, por lo que cada vértice requiere $2$ pasa. Parece que cada $4$ -El gráfico regular es efectivamente un gráfico de nudos. Esto se puede ver recorriendo el circuito y asignando cruces en cada vértice. De hecho, incluso se puede representar este grafo como un nudo alterno .
0 votos
Olvidé mencionar que lo anterior es obviamente sólo para planar $4$ -grafos regulares. No estoy seguro de los que no son planos.
0 votos
Pero sólo pedí planar 4-gráficos regulares: ¡para mí está bien!
0 votos
@EuYu Tu comentario me parece una respuesta.
0 votos
No está contando los enlaces con $2$ o más componentes como nudos, ¿verdad? Si no es así, seguramente el gráfico tiene que estar conectado para ser un posible diagrama de nudos, pero ni siquiera eso es suficiente.
0 votos
@Gerry: Tienes razón, debería haber mencionado la conectividad. ¿Puedes darme un ejemplo de un grafo plano conectado de 4 regiones que no sea un posible diagrama de nudos?
1 votos
Si no se insiste en los gráficos simples, basta con tomar una proyección de un enlace simple de dos nudos. Dependiendo de cómo marques los cruces, obtendrás ese enlace simple o dos desenganches. En realidad, me cuesta ver cómo se puede tomar cualquier proyección de un enlace de más de un componente y obtener un nudo de él. Puedes hacerlo si se te permite hacer alisado en un vértice, pero si todo lo que puedes hacer es sobre/bajo, me parece que acabas trazando cada enlace por separado.
0 votos
Hola, no sé si te interesa pero también hay un mapeo de grafo orientado a vértices 3 regulares a nudo, como puedes ver aquí: math.stackexchange.com/questions/2110660/ ...