Ecuaciones polinomiales en$p$ y$q$ con$p,q$ primos

Question

Existe un polinomio distinto de cero $R \in \mathbb{Z}[X,Y]$ tal que existe un número infinito de pares $(p,q)$ $p$ $q$ primos, $p \neq q$$R(p,q)=0$ ?

Sé que la curva debe ser de género $0$ (Faltings-Mordell).

Mi pregunta está relacionada con ecuaciones Polinómicas en $n$ $\phi(n)$ que ha sido resuelto.

Answer 1

Mientras tanto, sabemos que la respuesta es sí . A partir de 2013 sabemos (gracias a Y. Zhang) que hay$C\leq7\cdot10^7$ tal que hay infinitamente muchos pares primos que difieren por$C$. Así que podemos tomar$R(x,y)=x-y-C$, o, si desea un ejemplo explícito, tome$\prod_{\substack{C=2\\C\text{ even}}}^{7\cdot10^7}(x-y-C)$. A partir de abril de 2014 se sabe que podemos tener$C\leq246$.

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