Clasificación de grupos de orden 30

Question

¿Cómo encuentro todos los grupos de orden 30? Es decir, necesito encontrar todos los grupos con cardinalidad 30. Conozco los teoremas de Sylow.

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo de orden 30 y deje $n_p$ el número de sus $p$-subgrupos de Sylow. Por Sylow, $n_3\in\{1,10\}$$n_5\in\{1,6\}$. No es posible que $n_3 = 10$ y en el mismo tiempo $n_5 = 6$, ya que de lo contrario, no sería de 20 elementos de orden 3 y 24 de elementos de orden 5, contradiciendo el hecho de que $G$ contiene sólo 30 elementos.

Por lo tanto el $3$-subgrupo de Sylow $P_3$ o de la $5$-subgrupo de Sylow $P_5$ es normal, lo que implica que $N = P_3 P_5$ es un subgrupo de $G$. Porque de $\gcd(3,5) = 1$, $P_3\cap P_5 = \{1\}$ y, por tanto,$\lvert N\rvert = 15$. Por la clasificación de $pq$-grupos y $5\not\equiv 1\bmod 3$, $N$ es cíclico. Desde su índice en $G$$2$, es un subgrupo normal. Cualquier $2$-subgrupo de Sylow es un complemento de $N$$G$.

Por lo $G \cong \mathbb Z/15\mathbb Z \rtimes_{\varphi} \mathbb Z/2\mathbb Z$ donde $\varphi : \mathbb Z/2\mathbb Z \to \operatorname{Aut}(\mathbb Z/15\mathbb Z)$ es un grupo homomorphism. Tenemos $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/15\mathbb Z) \cong (\mathbb Z/15\mathbb Z)^\times \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z \times \mathbb Z/5\mathbb Z)^\times \cong \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$. Desde $\varphi$ es un homomorphism y el orden de $1$$\mathbb Z/2\mathbb Z$$2$, el orden de su imagen, $\varphi(1)$ divide $2$. En $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$ hay cuatro imágenes posibles, a saber,$\varphi(1)\in\{(0,0), (1,0), (0,2), (1,2)\}$. Desde $\varphi$ está determinado por $\varphi(1)$, esto muestra que hay en la mayoría de las $4$ tipos de isomorfismo de grupos de orden $30$.

Ahora mira en los siguientes cuatro grupos de pedido o $30$: $$ \mathbb Z/30\mathbb Z,\quad D_{15},\quad \mathbb Z/5\mathbb Z\times S_3,\quad \mathbb Z/3\mathbb Z\times D_5 $$ No es difícil comprobar que se encuentran de a pares no isomorfos. Así que hay exactamente estos $4$ tipos de isomorfismo de grupos de orden $30$.

Answer 2

Usted ya debe haber visto que un grupo de orden 15 es cíclico. Esto se deduce fácilmente a partir de Sylow de teoremas.

Usted dice

He encontrado todos los subgrupos de sylow y también han encontrado que cualquiera de sylow-3 o sylow 5 subgrupo es Normal.

Supongamos que hay un normal 5-subgrupo de Sylow $F$, y deje $T$ 3-subgrupo de Sylow. A continuación, $F T$ es un subgrupo de orden 15, por lo que es cíclico. Por otra parte $FT$ tiene índice 2, así que es normal. De ello se desprende que $T$ también es normal en $G$. Un argumento similar se aplica con 3 y 5 intercambiados, así que ya sabes que tanto un 3 y un 5-subgrupo de Sylow es normal.

Por lo tanto $G$ tiene un cíclica normal subgrupo $FT$ de orden 15. La última cosa a hacer es ver cómo un elemento $\alpha$ a de orden 2 puede actuar en $FT$. Considerar por separado la acción de la $\alpha$$F$$T$.

Answer 3

FNCole, JWGlover. En los grupos cuyas órdenes son producto de tres factores primos. American Journal of Mathematics, Vol. 15, No.3 (1893), pp.191-220.