La ecuación de matriz$X^{2}=C$

Question

Sea la matriz$C_{n\times‎n}$ y la ecuación$X^{2}=C$ dada, quiero encontrar la matriz$X$.

Para$n=2$,$X$ se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones;

$$ \ left \ {\begin{array}{l} x_{11}^2 + {x_{12}}{x_{21}} = {c_{11}}\\ {x_{11}}{x_{12}} + {x_{12}}{x_{22}} = {c_{12}}\\ {x_{21}}{x_{11}} + {x_{22}}{x_{21}} = {c_{21}}\\ {x_{21}}{x_{12}} + x_{22}^2 = {c_{22}} \end {array} \ right. $$

Pero ¿existe un método analítico (sin resolver un sistema de ecuaciones) para resolver tales ecuaciones?

Gracias.

Answer 1

No, un "método analítico (sin resolver un sistema de ecuaciones)" para resolver este tipo de ecuaciones no existe. Esto es debido a que cualquier ecuación de matriz es, por definición, un sistema de ecuaciones.

Sin embargo, teniendo en cuenta que una matriz es ya diagonalized, la búsqueda de la solución es muy simple. La lectura anticipada de algunas consideraciones de la no diagonalizable caso.

Cada matriz puede ser orthogonaly reducido a triangular. Tome entonces la ecuación de $Y^2 = R$ donde $R$ es triangular y $C=QRQ^*$ donde $QQ^*=I$. Entonces la solución para $X$ puede ser encontrado

$$X^2=C=QRQ^* = QY^2Q^*$$ Así que $$ X = QYQ^*$$

Por lo que se reduce a encontrar una matriz triangular. Veamos el $3 \times 3$ de los casos. $$\pmatrix{d_0 & 0 & 0 \\ a_1 & d_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & d_2}\pmatrix{d_0 & 0 & 0 \\ a_1 & d_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & d_2} = \pmatrix{d_0^2 & 0 & 0 \\ a_1(d_0 + d_1) & d_1^2 & 0 \\ a_2(d_0 + d_2) + a_1b_2 & b_2(d_1 + d_2) & d_2^2}$$

Esto no necesariamente dar un resultado " método analítico (sin resolver un sistema de ecuaciones)" pero sí muestra que la raíz cuadrada no existe, y hay $2^n$ soluciones diferentes, donde $n$ es el número de no-cero autovalores.

EDIT: voy a deshacer si esto es equivocado, ya que es extraída de un texto, pero...

Funciones de los Bloques de Jordan

Para un $k \times k$ Jordania bloque $J_*$ con autovalor $\lambda$, y para una función de $f(z)$ tal que $f(\lambda), f'(\lambda), \dots, f^{(k-1)}(\lambda)$ existen, $f(J_*)$ se define como $$f(J_*) = f\pmatrix{\lambda & 1 \\ & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ &&& \lambda}=\pmatrix{f(\lambda) & f'(\lambda) & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!}\\ & f(\lambda)& f'(\lambda)& \ddots & \vdots\\ & & \ddots & \ddots & \frac{f''(\lambda)}{2!}\\ & & & f(\lambda) & f'(\lambda)\\ & & & & f(\lambda)\\}$$