Una construcción con regla y compás

Question

Dado un círculo, es fácil construir su centro.

La pregunta es: dada una elipse, dibujar los focos.

No sé si es posible hacer esto usando sólo regla y compás.

Answer 1

Dejemos que $\lambda$ una elipse dada, dibujemos sus focos.

Véase la figura siguiente:

1. Dibuja dos cuerdas paralelas $AB$ y $DC$ .

2. Descubre $M$ y $N$ (puntos medios de $AB$ y $DC$ respectivamente).

3. Dibuja la línea recta $r$ a través de $M$ y $N$ .

4. Dejemos que $\{E, E'\} = r \cap \lambda$ , averigüe $O$ el espontáneo de $EE'$ .

5. Dibujar un arco $\mu$ centrado en $O$ y el radio $AO$ , de tal manera que $\{A, A'\}= \mu \cap \lambda$ .

6. Dibuja la línea recta $s$ a través de $A$ y $A'$ .

7. Dibujar una línea recta $t$ tal que $O \in t$ y $t\parallel s$ .

8. Dibujar $u$ (la bisectriz perpendicular de $AA'$ ).

9. Dejemos que $\{G, G'\} = u \cap \lambda$ y $\{J, J'\} = t \cap \lambda$ , $GG'$ y $JJ'$ son los ejes de simetría de $\lambda$ . Ahora dibuja un arco $\nu$ centrado en $G$ y el radio $JO$ , de tal manera que $\{F1, F2\}= \nu \cap t$ . $F1$ y $F2$ son los focos deseados de $\lambda$ .

Answer 2

Dibuja dos ejes de coordenadas perpendiculares. Elige de alguna manera $6$ puntos de la elipse ( $5$ son suficientes). (El "de alguna manera" está ahí porque para la constructibilidad clásica, todos los puntos construidos tienen que ser explícitos. Aquí tendremos que seleccionar al menos un punto "al azar").

Al proyectar estos $6$ puntos en los ejes, podemos construir el $x$ y $y$ -coordenadas de nuestro $6$ puntos. Con regla y compás se pueden construir los cuadrados y productos de estas coordenadas que se deseen.

La elipse tiene ecuación de forma $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$ para algunas constantes $a$ a $f$ . Así, las constantes satisfacen un sistema de $6$ lineal ecuaciones en $6$ incógnitas, con coeficientes construibles. La resolución del sistema sólo implica operaciones aritméticas, que pueden realizarse con regla y compás.

Ahora la elipse se puede poner en forma estándar utilizando las operaciones aritméticas y la raíz cuadrada. Y como ha señalado rschwieb, una vez hecho esto, los focos pueden construirse con regla y compás.

Observación: Esto resuelve la cuestión de si el trabajo puede, en principio, hacerse. Queda la tarea de hacerlo de una manera geométricamente agradable. La receta anterior para una construcción no da ninguna información al respecto.

Queda algo interesante en la construcción. Es uno de los muchos casos en los que un problema geométrico se resuelve utilizando la coordinación. Dado que la teoría elemental de los campos reales cerrados es decidible, la mayoría de los problemas geométricos del tipo clásico pueden responderse, aunque sea torpemente, con un programa de ordenador.