$f\colon X \to Y \times Z$ Es continuo si sus funciones componentes son

Question

Tengo una tarea pregunta que me pide para probar que una función dada $f : X \rightarrow Y \times Z$ es continua si y sólo si sus funciones de los componentes del $f_Y : X \rightarrow Y$ $f_Z : X \rightarrow Z$ son continuas. Creo que he resuelto, y mirando a su alrededor en línea, veo que mi prueba es la misma que la que se da en diversos libros de texto, por lo que debe ser derecho. Pero pensando en ello más, yo no estoy convencido de que es.

Mi pregunta se refiere a la dirección inversa: si el componente funciones son continuas, a continuación, $f$ es. Mi idea era la de $f^{-1}(U \times V) = f_Y^{-1}(U) \cap f_Z^{-1}(V)$, por lo que será abierto si $U$ $V$ $f_Y$ $f_Z$ son continuos, lo que demuestra que $f$ es continua. Esta respuesta parece ser la misma respuesta que se ha dado en varios lugares en línea. Sin embargo, me parece que esto sólo funciona para abrir los conjuntos de la forma $U \times V$. La definición de una función continua (al menos el que estamos utilizando en clase) afirma que "Una función es continua en el fib cada conjunto abierto en el rango tiene un abrir preimagen." Entonces, ¿por qué es esto una prueba aceptable? Solamente se considera la "rectangular" abrir establece en la gama, no todos de ellos.

Answer 1

La razón es suficiente con considerar sólo la "rectangular abierto conjuntos" es que la rectangular abrir juegos son una base para la topología producto: cada conjunto abierto en $X\times Y$ es una unión de "rectangular abierto conjuntos". Así que basta para comprobar el rectangulares:

Si $O$ es arbitraria conjunto abierto de $X\times Y$, podemos encontrar rectángulos $U_i\times V_i$ $U_i$ abierta en $X$ $V_i$ abierta en $Y$, de tal manera que $$O = \bigcup_{i\in I} (U_i\times V_i).$$ Entonces $$f^{-1}(O) = f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}U_i\times V_i\right) = \bigcup_{i\in I}f^{-1}(U_i\times V_i).$$ Por lo $f^{-1}(O)$ es una unión de bloques abiertos (puesto que ya hemos establecido que el inverso de la imagen de un "rectangular conjunto abierto" está abierta), por lo tanto abierto.

Uno puede comprobar la continuidad de una función mediante la comprobación de la inversa de la imagen de básica abierto sólo fija (de hecho, es suficiente con considerar el sub-abierto básicos de conjuntos, que son una familia de conjuntos tales que todas las intersecciones finitas de ellos forman una base), debido a la inversa mapa de imagen es muy buen comportamiento con respecto al conjunto de las operaciones.