Vamos a decir que ${T_i}\subset B(X,Y^*)$ converge a $T$ en W*-operador de la topología de la si $T_i(x)\rightarrow T(x)$ en W*-topología de $Y^*$( $\forall y\in Y \langle T_i(x),y\rangle \rightarrow \langle T(x),y\rangle$).
Ahora alguien ha probado el siguiente teorema. Es esto cierto?
COMENZAR
Deje $X$ $Y$ dos espacios de Banach arbitrarios. A continuación, $F (X; Y^*)$(rango Finito operador) es denso en $B(X; Y^*)$ con respecto a la débil* operador de topología.
Prueba.
Deje $T \in B(X; Y^*)$ y tomar un subconjunto finito $F =\{ x_1,...,x_n\}$ de X. Supongamos que $x_1,...,x_m$ son linealmente independientes para todos los $m\leq n$. Por el Hahn teorema de Banach, para cada una de las $j\in \{1,2,...,m\}$ hay $f_j\in X^*$ tal que $f_j(x_j) = 1$ $f_j(x_i) = 0$ todos los $i\in\{1,2,...,m\}-\{j\}$.Para cada una de las $j\in\{1,...,m\}$ definir $T_j\in B(X; Y^*)$$T_j(x) = f_j(x)T(x_j)$.A continuación, $$T_j(x_j) = T(x_j); T_j(x_i) = 0\ \ (i, j\in\{1,...,m\}, i\neq j)$$ Ahora defina $T_F = T_1 +...+ T_m$. Puede verse fácilmente que el $$T_F(x_i) = T(x_i)\ \ (i\in\{1,...,n\})$$ Por lo $T_F = T$ en el lapso de $F$$\operatorname{rank}(T_F)\leq \dim F$. Ahora es obvio que la red $(T_F)_{F\in F(X)}$$\big(F(X)=$ todo subconjunto finito de $X\big)$ converge a $T$ en la débil* operador de la topología, como se desee.
FINAL
Si es cierto, entonces mi pregunta es que ¿por qué no podemos decir $T_F\rightarrow T$ en fuerte del operador de la topología($T_F(x)\rightarrow T(x) \ \ \forall x\in X$)?
