Una forma del Principio de Elecciones Dependientes es que para cualquier árbol $T$ de altura $\omega$ tal que cada nodo de $T$ tiene un sucesor, hay una rama de $T$ de longitud $\omega$ . En este puesto En este artículo, doy dos caracterizaciones diferentes (pero equivalentes) para una generalización del Principio de las Elecciones Dependientes. ¿Alguien conoce alguna caracterización de esta generalización que tenga la forma de un teorema sobre los árboles?
Respuestas
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El que llamaste $\text{DC}_\kappa(2)$ parece ser equivalente a la afirmación "todo árbol de altura $\le \kappa$ tal que cada rama de longitud $<\kappa$ se puede continuar tiene una rama de longitud $\kappa$ ."
Esto también equivale a la afirmación de que todo árbol de altura $\le \kappa$ tiene una rama máxima.
Si cada árbol de altura $\le \kappa$ tiene una rama máxima, y $T$ es un árbol de altura $\le \kappa$ tal que cada rama de longitud $<\kappa$ puede ser continuado, entonces toma una rama máxima. No puede tener longitud $<\kappa$ por lo que debe tener una longitud $\kappa$ .
A la inversa, si todo árbol de altura $\le \kappa$ tal que cada rama de longitud $<\kappa$ se puede continuar tiene una rama de longitud $\kappa$ y $T$ es un árbol de altura $\le \kappa$ o bien tiene una rama de longitud $<\kappa$ que no puede ser continuado, o tiene una rama de longitud $\kappa$ . En cualquier caso, la rama es máxima.
Por "árbol de altura $\le \kappa$ " Me refiero a un poset (con un elemento menor, pero esto no importa aquí) tal que el conjunto de predecesores de cualquier elemento dado es un bien ordenado de longitud $<\kappa$ . Por "rama" me refiero a un subconjunto bien ordenado (equivalentemente, linealmente ordenado) que es cerrado hacia abajo. Por "maximal" quiero decir "maximal bajo inclusión". Por "puede ser continuado" quiero decir "no es maximal".
DanV
Puntos
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$\mathbf{DC}_\kappa(3)$ . Todo árbol de altura $\kappa$ en la que cada secuencia creciente de $<\kappa$ puntos tiene un límite superior no en la secuencia tiene una rama de longitud $\kappa$ .
Nótese que esta suposición implica que cada punto tiene un sucesor.
La suposición $\mathbf{DC}_\kappa(2)$ está implícita esta versión. Para ver esto, considere el $X$ y $R$ como en la exigencia de $\mathbf{DC}_\kappa(2)$ y definir el siguiente subárbol de $X^{<\kappa}$ , $$f<_T g\iff \exists\beta<\kappa:g\upharpoonright\beta=f\land f\mathrel{R}g(\beta)$$
Este es un árbol de altura $\kappa$ y si $\langle f_\gamma\mid\gamma<\lambda\rangle$ para algunos $\lambda<\kappa$ es una secuencia creciente en $T$ entonces $f=\bigcup f_\gamma$ es un límite superior de la secuencia, tome cualquier $x$ tal que $f\mathrel{R} x$ y ampliar $f$ por un punto con $x$ entonces esta extensión es un límite superior que no está en la secuencia. Por lo tanto, hay una rama de longitud $\kappa$ en el árbol. Es fácil ver que la rama define la función de $\kappa$ en $X$ .
En el otro sentido, si $\mathbf{DC}_\kappa(2)$ sostiene y $T$ es un árbol de altura $\kappa$ en la que cada secuencia corta tiene un límite superior que no está en la secuencia, considere la relación $R$ en $T^{<\kappa}\times T$ definido por $f\mathrel{R} x$ si y sólo si $f$ es una rama cofinal estrictamente inferior $x$ o que $f$ no define una rama sino $x$ es un sucesor de alguien que no tiene sucesores en el rango de $f$ (o de una secuencia cofinal inferior $x$ en el rango de $f$ ). Esto es similar a lo que hicimos la vez anterior.
Hay $f\colon\kappa\to T$ que ahora mostraremos que debe definir una rama. Para $0$ , $f\upharpoonright 0\mathrel{R} f(0)$ es decir, que $f(0)$ tiene nivel cero, por lo que tenemos una rama de longitud $1$ .
Supongamos que para $\beta<\alpha$ sostiene que $f\upharpoonright\beta$ define una rama por debajo del $\beta+1$ -nivel. Si $\alpha$ es un límite entonces para todo $\beta<\alpha$ tenemos que $f$ define una rama por debajo del $\beta$ nivel, por lo que debe ser la misma rama, así que $f\upharpoonright\alpha$ también debe definir una rama hasta el nivel $\alpha+1$ ; si $\alpha=\beta+1$ entonces esto es de nuevo tiene que ser que continuamos esta rama.
Por lo tanto, $f$ es una rama de longitud $\kappa$ en $T$ como se quería.
