Dado un funcional
$$J(y)=\int_a^b F(x,y,y')dx, \tag{1}$$
donde $y$ es una función de $x$, y una restricción
$$\int_a^b K(x,y,y')dx=l, \tag{2}$$
si $y=y(x)$ es un extremo de la (1) en virtud de la restricción (2), entonces existe una constante $\lambda$ tal que $y=y(x)$ es también un extremo de la funcional
$$\int_a^b [F(x,y,y')+\lambda K(x,y,y')]dx. \tag{3}$$
Del mismo modo, si la restricción es
$$g(x,y,y')=0, \tag{4}$$
entonces existe una función de $\lambda(x)$ de manera tal que el extremo tiene también para el funcional
$$\int_a^b [F(x,y,y')+\lambda(x)g(x,y,y')]dx. \tag{5}$$
Esto se conoce como el multiplicador de Lagrange de la regla para el cálculo de variaciones. Sin embargo, tengo dos preguntas acerca de esta declaración.
- Si el funcional (1) tiene dos restricciones (2) y (4), ¿la extrema valen también para el funcional $$\int_a^b [F(x,y,y')+\lambda K(x,y,y') +\lambda(x) g(x,y,y')]dx ? \tag{6}$$
- Es esta declaración también válido para múltiples variable de caso? Por ejemplo, si $J=\iint F(x_1,x_2,y(x_1,x_2))dx_1 dx_2$, e $\iint K(x_1,x_2,y(x_1,x_2))dx_1 dx_2=l$, es esto equivalente a $J=\iint F(x_1,x_2,y(x_1,x_2))+\lambda K(x_1,x_2,y(x_1,x_2))dx_1 dx_2$?
Gracias de antemano y cualquier sugerencia será bienvenida. Es mejor si usted tiene alguna referencia.
