Demuestra que la suma es menor que $6/5$ .

Question

Cómo demostrar que $$\sum_{n=1}^{15} \frac{1}{n^3}\lt\frac 65$$

He intentado comparar esta suma con la suma infinita, pero Apertura está justo por encima de $1.2$ por lo que este enfoque no funciona.

Entonces escribí esto en wolfy y la suma parece como si fuera poco $6/5$ .

Sin embargo, me preguntaba si había una forma mejor de demostrar este resultado en lugar de sumar todos los términos.

Answer 1

Puedes estimar el resto de la serie comparándolo con la integral.

$\displaystyle \sum\limits_{n=N}^{\infty}\frac 1{n^3}\ge\int_{N}^{\infty}\frac{dt}{t^3}=\bigg[\frac{-1}{2t^2}\bigg]_{N}^{+\infty}=\frac{1}{2N^2}$

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{15}\frac 1{n^3}\le\zeta(3)-\frac 1{512}\simeq 1.2001... > \frac 65$

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{14}\frac 1{n^3}\le\zeta(3)-\frac 1{450}\simeq 1.1998... < \frac 65$

Por desgracia, la comparación integral no puede decir con certeza si el $N$ es $15$ Así que, a menos que haya otras ideas, creo que se requiere el cómputo efectivo.

Answer 2

Esto es sólo una coincidencia numérica, en lo que a mí respecta.

Como otros han señalado, según Wolfy, la suma a 15 términos es $$\dfrac{56154295334575853}{46796108014656000} =1.199977898097614804322644896619336727642969815345853855758... $$ y la suma a 16 términos es $$\dfrac{449325761325072949}{374368864117248000} =1.200222038722614804322644896619336727642969815345853855758... $$

Answer 3

Probablemente esto no sea una respuesta a la pregunta.

Considere $$\sum_{n=1}^{p} \frac{1}{n^3}=H_p^{(3)}$$ donde aparecen los números armónicos generalizados y se utiliza la asintótica correspondiente $$H_p^{(3)}=\zeta (3)-\frac{1}{2 p^2}+\frac{1}{2 p^3}-\frac{1}{4 p^4}+\frac{1}{12 p^6}-\frac{1}{12 p^8}+O\left(\frac{1}{p^{10}}\right)$$ donde $\zeta (3)\approx 1.20205690316$ . Utilizando este valor para la orden $O\left(\frac{1}{p^{k}}\right)$ y la informática para $p=15$ deberíamos obtener $$\left( \begin{array}{cc} k & H_{15}^{(3)}\\ 0,1 & 1.20205690316 \\ 2 & 1.19983468094 \\ 3 & 1.19998282909 \\ 4,5 & 1.19997789081 \\ 6,7 & 1.19997789813 \\ 8,9 & 1.19997789810 \end{array} \right)$$

Answer 4

$\sum_{N+1}^{15} (1/x^3) $ < $\int_N^{15} (1/x^3) dx $ Prueba N=1 ,si no funciona, prueba N=2 etc esto viene de la prueba integral . De hecho deberías aumentar el límite superior de la integral de 15 a +infinito para que sea más fácil.Creo que N=3 podría funcionar