¿Derivado de un Integral limitado?

Question

Sólo la revisión de mi cálculo avanzado examen y llegó a través de esta pregunta:

Considere la función $f(x)$ definida por la integral de la ecuación: $$ f(x) = x^2 + \int_0^x(x − t)f(t) dt. $$ Obtener un $ODE$ y condiciones de contorno para $f(x)$, y resolver este para determinar el $f(x)$.

Quiero suponer que tomamos la derivada de ambos lados para obtener:

$$ f'(x) = 2x + {d \más de dx}{\int_0^x(x − t)f(t) dt}. $$

Pero ¿dónde puedo ir desde aquí? Mi primera conjetura es:

$$ f'(x) = 2x + (x-x)f(x) - x.f(0). $$ $$ f'(x) = 2x - x.f(0). $$

Sin duda que hay de malo? Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

$$f (x)=x^2+x\int_0^xf (t)dt-\int_0^xtf (t)dt $ $ y por FTC, $$f'(x)=2x+\int_0^xf (t)dt+xf (x)-xf (x)$ $ $$=2x+\int_0^xf (t)dt $ $

$$f''(x)=2+f (x) $$

$$f (x)=Ae^x+Be^{-x}-2$ $ y desde $f (0)=f'(0)=0$, encontramos

$$f (x)=e^x+e^{-x}-2=4\sinh^2 (\frac {x}{2}) $$

Answer 2

Estás en el camino correcto, ver esta para más detalles. Tienes razón sobre el término de $(x-x) f(x)$, pero el segundo término debe ser $\int_0^x \frac{\partial}{\partial x} (x-t) f(t) dt = \int_0^x f(t) dt$. La Oda se deriva resulta para ser de segundo orden.

Answer 3

Tenga en cuenta $$ f (x) = x ^ 2 + \int_0^x (x − t)f(t) dt=f(x) = x ^ 2 + x\int_0 ^ x f (t) dt-\int_0^x tf(t) dt. $$ So $f(0)=0$. Derivado de la toma da $$ f ' = 2 x + \int_0^x f(t)dt+xf(x)-xf (x) = 2 x + \int_0^xf (t) dt $ y por lo tanto $f'(0)=0$. Derivado de la toma otra vez da $$　f''(x) = 2+f(x). $ $ $f(x)$ satisface el siguiente de 2 º orden DE $$ y''-y=2,y(0)=y'(0)=0 $ $ cuya solución es $$ y=e^x+e^{-x}-2. $ $