¿Cuál es el valor de la siguiente integral? $$\int_{1/2014}^{2014}\frac{\tan^{-1}x} x \, dx$$
Tengo problemas para evaluar esto.
Lo hice pero luego olvidé que $tan^{-1}\frac{1}{u}$ podría escribirse como $\frac{\pi}{2}-tan^{-1}(u)$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Dejemos que $x = \frac{1}{u}, dx = -\frac{1}{u^2} du$ . Entonces $$I=\int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1}(x)}{x}dx = \int_{2014}^{1/2014} -\frac{\tan^{-1}(1/u)}{u}du$$ Para los positivos $u$ tenemos $\tan^{-1}(1/u) = \frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(u)$ y así $$= \int_{1/2014}^{2014} \frac{\pi}{2u} - \frac{\tan^{-1}(u)}{u}\, du = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\pi}{2u}\, du -I$$ y así $$2I = \frac{\pi}{2}\int_{1/2014}^{2014} \frac{1}{u}\, du = \pi \ln(2014)$$ dándonos $$I = \frac{\pi}{2}\ln(2014)$$
calacala
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Michael Hardy
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\begin{align} w & = \frac 1 x \\[10pt] dw & = \frac{-dx}{x^2}, \text{ so } \frac{dw} w = \frac{-dx} x. \\[20pt] \int_{1/2014}^{2014} \frac{\arctan x} x \, dx & = \int_{2014}^{1/2014} \frac{\arctan(1/w)}{w} (-dw) \\[10pt] & = \int_{2014}^{1/2014} \frac{\frac \pi 2 - \arctan w} w \, (-dw) \\[10pt] & = \int_{1/2014}^{2014} \frac \pi {2w} \, dw - \int_{1/2014}^{2014} \frac {\arctan w} w \, dw. \\[10pt] \text{So } I & = \int_{1/2014}^{2014} \frac \pi {2w} \, dw - I, \\[10pt] \text{and thus } 2I & = \int_{1/2014}^{2014} \frac \pi {2w}\, dw, \end{align} y luego dividir ambos lados por $2$ .
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El resultado debe ser $$\frac{1}{2} \pi \log (2014)$$
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Por integración por partes: $$\int_\frac{1}{\text{n}}^\text{n}\frac{\arctan\left(x\right)}{x}\space\text{d}x=$$ $$\arctan\left(\text{n}\right)\ln\left|\text{n}\right|-\arctan\left(\frac{1}{\text{n}}\right)\ln\left|\frac{1}{\text{n}}\right|-\int_\frac{1}{\text{n}}^\text{n}\frac{\ln\left|x\right|}{1+x^2}\space\text{d}x$$
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Puede ser útil recordar que cuando $x>0$ entonces $\arctan x + \arctan \dfrac 1 x = \dfrac \pi 2. \qquad$
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Voto por cerrar esta pregunta como off-topic porque no es más que el planteamiento de un problema, y el OP quiere la respuesta. No hay señales de esfuerzo por parte del autor de la pregunta, no se proporciona ningún contexto, y este usuario ha exhibido una larga racha de pedir declaraciones de problemas sin contexto, mostrando ningún esfuerzo.
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@amWhy Me alegro mucho de que me juzgues, pues ciérralo que me da igual, aquí hay mucha gente buena, desde luego tú no eres uno de ellos, quizás tengas más experiencia pero eso no te da derecho a insultar a los demás, intentando hacerme parecer un troll aquí, mientras que tú eres el único. Si fuera capaz de resolver todo esto no lo habría preguntado aquí y si me gustara no mostrar esfuerzos como dices no resolvería estas cuestiones en primer lugar, ¿por qué dar un dolor de cabeza incluso viéndolas bien? Ve a disfrutar de tu ego y fama virtual.
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Iti, no juzgo, sólo informo de lo que revela tu post. "¿Qué es xyz?" Nada más, sin información de fondo de usted, sin esfuerzo publicado por usted, ni siquiera una conjetura, publicado de usted.
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Claro, estás en tu derecho pero deja de decir que tengo varias cuentas sólo para quedar bien. Mi examen ya ha terminado y puedo responder/añadir preguntas libremente con todos los detalles que pueda conseguir. Pero no ha habido un día desde que me uní que nadie me golpeó sólo porque pensaban pregunta era fácil o incluso por qué estoy haciendo preguntas, que es ridículo lo creas o no, hay personas que downvoted todas mis respuestas, gracias a mod me dieron puntos de vuelta y después de encontrar que es la venganza troll. Eso es todo lo que quiero decir, al menos sean educados con los nuevos, no es un reino sino un lugar para aprender. @amWhy
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@amWhy Que dirías de él 22k rep no es muy bajo math.stackexchange.com/questions/1487804/ y hay muchas preguntas como ésta.
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@amWhy si quieres más : math.stackexchange.com/questions/1137250/ Puedo publicar muchos hilos.
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Le doy a la gente la oportunidad de evolucionar/aprender/aclimatarse al sitio y tengo muy poco interés en las primeras preguntas de la gente. Llevas mucho tiempo en el sitio, has tenido mucho tiempo para aprender lo que se espera de ti. Como otro ha señalado, sus mensajes en el último día o así han sido de una sola línea, tal vez dos líneas. Dices que quieres verificar tu respuesta de un examen que hiciste antes. ¿Por qué vuelves a hacer la pregunta sin dar la respuesta que diste? Si no, ¿cómo se puede verificar? Yo no juzgo, a pesar de uno de sus comentarios; Yo abrazo todos los niveles; Y nunca considero cualquiera ¡estúpido!
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