Álgebra: Demostrar la desigualdad $\sum_{n=1}^{2015} \frac1{n^3} < \frac 54$

Question

Puede probar alguien desigualdad (n es natural): %#% $ #% han intentado algunas predicciones como $$\sum_{n=1}^{2015} \frac{1}{n^3} < \frac 5 4$, pero no pudo conseguir nada de ellos.

Answer 1

Se puede utilizar (para $n \geq 2$) $$\frac{1}{n^3} < \frac{1}{n^2(n-1)} < \frac12\frac{2(n-1) +1}{n^2 (n-1)^2} =\frac{1}{2} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right).$ $

Escriba su suma $$ 1 + \frac{1}{2^3} + \sum_{2015\geq n\geq 3} \frac{1}{n^3} < \frac{9}{8} + \sum_{n\geq 3} \frac{1}{2} \left (\frac{1} {(n-1) ^ 2}-\frac{1}{n^2}\right) = \frac{9}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{4}. $$

Answer 2

Dividir la suma $1 + 1/8 + \sum_{n=3}^\infty 1/n^3$

Necesita $\sum_{n=3}^\infty 1/n^3 \lt 1/8$.

$\sum_{n=3}^\infty 1/n^3 \lt \int_{x=2}^\infty 1/x^3 dx = 1/8$

Answer 3

Tenga en cuenta que $n>1$,

$$\frac{1}{n^3}<\frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{2(n-1)}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2(n+1)}$$

$$\sum_{n=2}^{2015}\frac{1}{n^3-1}=\frac{1}{2(1)}-\frac{1}{2(2)}-\frac{1}{2(2015)}+\frac{1}{2(2016)}=\frac{2031119}{8124480}<\frac{1}{4}$$